En effet, si l’on substitue la valeur précédente de
dans l’équation trouvée plus haut, qui donne la valeur de
on en tirera
![{\displaystyle q'={\frac {\mathrm {B+C} p+{\frac {1}{4}}\mathrm {D} \left(3p^{2}+q^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {E} \left(p^{3}+pq^{2}\right)}{\sqrt {a+\mathrm {D} p+\mathrm {E} p^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e8533e83c7a12ff86a2a5130fc2ff73623a247)
Ici, remettant pour
et
leurs valeurs
et
et pour
sa valeur
![{\displaystyle x'-y'={\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}-{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}-\mathrm {E} y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b001cabc8284ef8395251dc8a7627416a005dd86)
on aura une nouvelle équation en
et
avec la constante arbitraire a, qui sera également l’équation primitive de la proposée, mais qui ne sera qu’une transformée de l’équation précédente.
68. L’équation du premier ordre dont nous venons de trouver l’équation primitive peut toujours, par des transformations convenables, se réduire à la forme
![{\displaystyle z'={\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}{\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c0553eab5322f8bef9d48f07bb588859ecdb82)
étant ici une fonction de
Comme cette équation, traitée directement de la même manière, est susceptible d’une analyse beaucoup plus simple et plus élégante, j’ai cru qu’on ne serait pas fâché de la trouver ici.
On regardera
et
comme fonctions d’une autre variable
et, après avoir substitué, en conséquence,
à la place de
(no 50), on fera ces deux équations séparées
![{\displaystyle u'={\sqrt {\mathrm {A+B} \cos u}},\quad z'={\sqrt {\mathrm {A+B} \cos z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43057b72f10604e0fc7f7a1143c79273acac4f1c)
après les avoir carrées, on en prendra les fonctions primes ; on aura, en divisant l’une par
et l’autre par
ces deux-ci du second ordre :
![{\displaystyle 2u''=-\mathrm {B} \sin u,\quad 2z''=-\mathrm {B} \sin z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a845f1441ece0d5c6e074c5970bda8189fd384)
Soient maintenant
les deux équations pré-