qui renferme deux constantes arbitraires
et
il n’y aura qu’à faire
et prendre
de manière qu’elle satisfasse à l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a463ca772a900361ca61e9420907e8e07e718f)
la fonction désignée par
sera la fonction arbitraire ;
3o Qu’ayant une équation quelconque entre
qui renferme une fonction donnée, on en peut déduire une équation du premier ordre où cette fonction ne se trouve plus. En effet, si
est la fonction qu’on veut faire disparaître,
étant une fonction donnée de
il n’y aura qu’à prendre les deux équations primes suivant
et suivant
de l’équation proposée ; on aura trois équations qui renfermeront
et
en désignant par
la fonction prime de
prise relativement à
d’où, éliminant ces deux fonctions, il résultera une équation du premier ordre où la fonction
ne se trouvera plus.
84. Soit, par exemple,
![{\displaystyle z-ax-by-c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1762ac8dbd6c041b785a1db30acc6ee2233c94)
une équation donnée ; les deux équations primes seront
![{\displaystyle z'-a=0,\quad z_{_{'}}-b=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4373cb882a8feb3ad2aa68b2578b616405cf0f76)
éliminant
et
de ces trois équations, on aura l’équation du premier ordre
![{\displaystyle z-xz'-yz_{_{'}}-c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f936aea2e8075980ba3acfb7ac2882a90cf06c)
dont
![{\displaystyle z-ax-by-c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1762ac8dbd6c041b785a1db30acc6ee2233c94)
sera l’équation primitive,
et
étant les constantes arbitraires.
Maintenant, en supposant
![{\displaystyle z-ax-by-c=\operatorname {F} (x,y,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7edcb8b2fefbae7e996f8baed87ca92b1ae4b7b)
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)=-x,\quad \operatorname {F} '(b)=-y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1105dc3fecbca74acda76d355e8c6ae212c3731)
Donc, faisant
l’équation pour déterminer
sera
![{\displaystyle -x-yf'(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fe63c9427f3ac70d9090ddd49e6ad5aed73f39)