CHAPITRE XVI.
Méthode générale pour trouver l’équation primitive d’une équation du premier ordre entre plusieurs variables, lorsque les fonctions dérivées sont linéaires, et pour trouver l’équation primitive d’une équation quelconque du premier ordre entre trois variables.
88. Nous avons vu comment on peut faire disparaître une fonction arbitraire contenue dans une équation donnée, au moyen de ses équations primes ; mais il y a, pour y parvenir, un moyen plus simple à quelques égards, fondé sur la considération que nous avons employée plus haut (no 82).
Considérons en général l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,y,z,\varphi (p)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9895884ce03d6c57a7ecc49ee85d9658cc4c0e41)
dans laquelle
soit égale à
les deux fonctions désignées par les caractéristiques
et
étant données, et la fonction marquée par la caractéristique
étant arbitraire ; on peut supposer
une fonction de
telle que la fonction prime de
soit nulle ; alors
pourra être traitée comme constante dans la fonction
pourvu qu’on détermine
par la condition que la fonction prime de
soit nulle.
Désignons simplement par
et de même par ![{\displaystyle f'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9295da6cc8baaeecdd6fd3e8c7401c781765d127)
les fonctions primes de
et de
prises relativement à
isolées et regardées comme indépendantes on aura, comme dans l’endroit cité, les deux équations primes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0,\\f'(x)\,+z'\ f'(z)+y'\left[f'(y)+z_{_{'}}\ f'(z)\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f97ca3311707170acb696721597e08d625cee0)