Qu’on dénote par
et
les fonctions primes de
relativement à
il est facile de voir, par les principes établis pour la formation des fonctions primes, que, puisque
est essentiellement une fonction de
et
dont
et
sont les fonctions primes relativement à chacune de ces variables isolées, la valeur complète de la fonction prime de
relativement à
sera
et que la valeur complète de la fonction prime de
relativement à
sera
ces valeurs sont celles qui, dans l’équation ci-dessus, sont représentées simplement par
et
mais on a supposé
et, par l’équation proposée, on a
donc les valeurs à substituer à
et
seront
et
Faisant donc ces substitutions dans la dernière équation en
et ordonnant les termes suivant les quantités
et
on aura
![{\displaystyle u'-u_{_{'}}\operatorname {F} '(u)+\,_{_{'}}\!u\left[\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u)\right]-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056fa7c7397c4517d9b9896dd21a4f4b245a6fdc)
équation qui, étant comparée à la formule générale du no 91, donne
![{\displaystyle \mathrm {L} =-\operatorname {F} '(u),\quad \mathrm {M} =\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u),\quad \mathrm {N} =-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1331a985dd8362ca198cd2715f23139c670b14db)
de sorte que les trois équations par lesquelles il faudra déterminer
en fonction de
seront
![{\displaystyle u'-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3cfa9cd5298278a5d36d0897b3f627d495be4d)
![{\displaystyle u'\operatorname {F} '(u)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3edf7cfea4901247fd0036728b3c323cdb8f1e09)
![{\displaystyle u'\left[\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u)\right]-z'\left[\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a92a9c313c75e5dacc183b2eaf7833c0425a95)
Ainsi la difficulté est réduite à trouver les équations primitives d’où celles-ci peuvent être déduites ; mais il suffira d’en trouver une, et il serait même inutile de trouver les deux autres.
93. En effet, supposons qu’on ait trouvé les trois équations primitives avec les trois constantes arbitraires
et soient
les valeurs de ces constantes qui en résultent ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {P=\varphi (Q,R)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebd39ccd67013f5048dea5152773c0f647a3abc)
pour la forme générale de l’équation primitive en
(no 91).