de
il ne peut entrer aucune puissance fractionnaire de
il s’ensuit que la quantité dont il s’agit ne pourra être multipliée que par une puissance positive et entière de
elle sera donc de la forme
étant une fonction de
et
qui ne deviendra point infinie lorsque
On aura donc ainsi
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+i\mathrm {P} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a174aeb674bedfbfe2f0bb4a8f6fde5acd58dd56)
donc
et par conséquent divisible par
la division faite, on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {f(x+i)-f(x)}{i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e81271403fd4a52819f03dae3b641714d4d2356)
Or,
étant une nouvelle fonction de
et
on pourra de même en séparer ce qui est indépendant de
et qui, par conséquent, ne s’évanouit pas lorsque
devient nul. Soit donc
ce que devient
lorsqu’on fait
sera une fonction de
sans
et, par un raisonnement semblable au précédent, on prouvera que
étant la partie de
qui devient nulle lorsque
et
étant une nouvelle fonction de
et
qui ne devient pas infinie lorsque
On aura donc
et par conséquent divisible par
la division faite, on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {P} -p}{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99d6a8637d9d29b5b308013e1e435a52e289b09)
Soit
la valeur de
en y faisant
sera une fonction de
sans
et la partie de
qui devient nulle lorsque
devient nul sera, comme ci-dessus, de la forme
étant une fonctions de
et
qui ne deviendra pas infinie lorsque
et qu’on trouvera en divisant
par
et ainsi de suite.
On aura, par ce procédé,
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+i\mathrm {P} ,\quad \mathrm {P} =p+i\mathrm {Q} ,\quad \mathrm {Q} =q+i\mathrm {R} ,\quad \mathrm {R} =r+i\mathrm {S} ,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a941c5ee375675ae331703da768c2812b1441c00)
donc, substituant successivement,
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+i\mathrm {P} =f(x)+ip+i^{2}\mathrm {Q} =f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}\mathrm {R} =\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199d9c7f2b8f7b216308a6a8d2c8a8a417cea175)
ce qui donnera, pour le développement de
une série de la forme que nous avons supposée au commencement.