tités par
il suffira que la quantité
soit plus grande que
ce qui est évidemment toujours possible, en prenant
aussi petit qu’on voudra, et il est visible aussi que, aussitôt que cette condition aura lieu pour une valeur déterminée de
elle aura lieu, à plus forte raison, pour toutes les valeurs plus petites de
Donc la troisième courbe ne pourra, dans ce cas, passer entre les deux premières, à moins que la quantité
ne devienne nulle, c’est-à-dire qu’on n’ait
![{\displaystyle \varphi '(x)=f'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485258a6ad7f7836d5265568f95d00055dd1366c)
auquel cas la conclusion précédente cessera d’avoir lieu.
4. Supposons ensuite que l’on ait à la fois
et
en prenant trois termes dans le développementdes fonctions, nous aurons, par la même formule du no 40 (Ire Partie),
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+i)=&f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)\ +{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''\,(x+j),\\\operatorname {F} (x+i)=&\operatorname {F} (x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(x+j),\\\varphi (x+i)=&\varphi (x)+i\varphi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\varphi ''(x)\,+{\frac {i^{3}}{2.3}}\varphi '''(x+j).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0337b2ab817f5dfedb2a8b3be942230e7cc8bb)
Ces valeurs étant substituées dans les expressions générales de
et
à cause de
et
donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} =&{\frac {i^{3}}{2.3}}\left[f'''(x+j)-\operatorname {F} '''(x+j)\right],\\\Delta =&i\left[f'(x)-\varphi '(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x)-\varphi ''(x)\right]+{\frac {i^{3}}{2.3}}\left[f'''(x)-\varphi '''(x)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8712f858dedd4485693120ca0fd8584595074ac2)
Ici, il est aisé de voir que, tant que les termes affectés de
et de
dans l’expression de
ne seront pas nuls, on pourra prendre
assez petit pour que la quantité
devienne plus grande que
abstraction faite des signes. Car, divisant ces deux quantités par
il suffira