éléments les deux équations
![{\displaystyle y-a-bx=0,\quad y'-b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5d21a18fc90cab4d87d4cfd47d736a90570673)
d’où l’on tire
![{\displaystyle b=y'\quad {\text{et}}\quad a=y-xy',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf50c0204fc7cdb14ef79cceefbeed9cf997abf)
comme ci-dessus (no 6).
Prenons pour la courbe du contact un cercle dont l’équation la plus générale est
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}-c^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e6a7cb8bc33baa0e529d76c167ab55908081b6)
elle ne sera susceptible que d’un contact du second ordre, puisqu’il n’y a que trois éléments
On déterminera donc ces éléments par les trois équations
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}-c^{2}=0,\ \ x-a+(y-b)y'=0,\ \ 1+(y-b)y''+y'^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057555356e720a4babf6fadb1942041f7e9d44c7)
dont la seconde et la troisième sont les équations prime et seconde de la première. De ces équations on tire tout de suite
![{\displaystyle y-b=-{\frac {1+y'^{2}}{y''}},\quad x-a={\frac {\left(1+y'^{2}\right)y'}{y''}},\quad c={\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345c51447db9087f9ff083d892fb116309f696ff)
comme plus haut (no 9).
Si l’on prenait l’équation à la parabole
![{\displaystyle y=a+bx+cx^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3d123671c9489ae376e2ac1ac58288f5acfca7)
qui n’a aussi que trois constantes arbitraires, on aurait de même, pour la détermination de ces constantes, regardées comme éléments d’un contact du second ordre, les équations
![{\displaystyle y-a-b+cx^{2}=0,\quad y'-b-2cx=0,\quad y''-2c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b020c1e9aba746869efca3e17e3f9f9123dd63e)
lesquelles donnent
![{\displaystyle c={\frac {y''^{2}s}{2}},\quad b=y'-xy'',\quad a=y-xy'+{\frac {x^{2}y''}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabe9b845709e4a6d4a1dfafd0cb49a86b341e1e)
Mais, si l’on prenait l’équation à la parabole cubique
![{\displaystyle y=a+bx+cx^{2}+dx^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e457652ab2e62e39fdd81156a9e8de052c142e)