d’où l’on tire
![{\displaystyle q=-{\frac {1}{8x{\sqrt {x}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6015a184d8b8fb64fc1f05eb74ab724e7d265d)
On fera donc
et ainsi de suite.
On peut, à la vérité, trouver les valeurs de
d’une manière plus expéditive en faisant tout de suite l’équation
![{\displaystyle {\sqrt {x+i}}={\sqrt {x}}+pi+qi^{2}+ri^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1b2001a1319008d4efe26b4d97ec3ede10412a)
l’élevant au carré pour dégager la quantité
de dessous le signe, et comparant ensuite les termes affectés des mêmes puissances de
pour que cette quantité puisse demeurer indéterminée, comme on le suppose mais la méthode précédente a l’avantage de ne développer la série qu’autant qu’on veut et de donner la valeur exacte du reste. En effet, si l’on voulait, par exemple, s’arrêter au second terme
on aurait
pour la valeur du reste, et l’on pourrait déterminer
par la résolution de l’équation en
Dans l’exemple ci-dessus, cette équation est
![{\displaystyle i^{2}\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {Q} \left(2{\sqrt {x}}+{\frac {i}{\sqrt {x}}}\right)+{\frac {1}{4x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81805bda846403d9382ad7fb1accc11e797cda2e)
et, pour la résoudre de manière que l’expression de
ne présente pas la quantité
au dénominateur, il n’y a qu’à faire
ce qui réduira l’équation à cette forme,
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}+4\mathrm {V} \left(2x{\sqrt {x}}+i{\sqrt {x}}\right)+4xi^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9411b1ddbe02293a884f4c244218db4e67128654)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {V} =-4x{\sqrt {x}}-2i{\sqrt {x}}\pm 4x{\sqrt {x+i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3402b74b8b2684c2e807bc7817332018cfd1707)
et, comme
ne doit pas devenir infini lorsque
(no 3), il faudra que
ne devienne pas nul dans le même cas ; par conséquent, il faudra prendre le signe inférieur du radical ; on aura ainsi
![{\displaystyle \mathrm {V} =-2{\sqrt {x}}(2x+i)-4x{\sqrt {x+i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffec0512cee5748850ea3aee6ef8019a2a2cde6b)