Développons les fonctions
et
suivant notre formule (no 40, 1re Partie), et arrêtons-nous au premier terme pour la première et aux deux premiers pour la seconde ; on aura
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x+j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a9850314c74c5001dab85db21184cb3a6d3396)
et
![{\displaystyle \operatorname {F} (x+i)=\operatorname {F} (x)+i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164ad24e2ae2b13abb5dfbb5171d91775fa36d3b)
où
est une quantité indéterminée qui peut n’être pas la même pour les deux fonctions, mais qui doit toujours être renfermée entre les limites
et
Il faudra donc que la fonction
soit telle que la quantité
soit renfermée entre les limites
et
quelle que soit la valeur de
et par conséquent en prenant
aussi petit qu’on voudra. Or, l’intervalle entre les deux limites étant
la différence de la quantité dont il s’agit et de l’une des limites, savoir
![{\displaystyle i\left[\operatorname {F} '(x)-f(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f77c8a41e70363b8793afe0e899f25be0f909ce)
devra être moindre que
abstraction faite des signes de ces quantités. Mais il est aisé de prouver que cette condition ne peut avoir lieu pour une valeur de
aussi petite qu’on voudra, à moins que le terme affecté de
ne disparaisse ; car autrement on pourra toujours prendre
tel que la première quantité soit plus grande que la seconde, puisqu’il suffira que
soit plus petit que
On aura donc nécessairement
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)=f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebb45af6ec6ea206b681478cf2f2f32bd738df9)
et cette condition suffira pour la détermination de la fonction
puisque l’on voit qu’elle ne sera autre chose que la fonction primitive de ![{\displaystyle f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e889a7f3ee0216318cbf9f3478208fa1404cc51c)
Donc, en général, la fonction prime de la fonction qui exprime l’aire d’une courbe par l’abscisse est la fonction qui représente l’or-