troisième équation qui contienne les fonctions primes
or, les deux précédentes ayant été déduites de l’équation de la sphère, il faudra tirer la troisième de l’équation du plan
![{\displaystyle x-a+m(y-b)+n(z-c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b00581a3f30288cdf55afe5bd18c559fa9eeeab)
laquelle, en faisant tout varier et ayant égard à l’équation
![{\displaystyle 1+my'+nz'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9ae9fb07d3990452e0acc7404d4c7dc1d291d1)
donnera celle-ci,
![{\displaystyle -a'-mb'-nc'+m'(y-b)+n'(z-c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af968dfa5c6cda39f9f09903b0a163310118971)
qui est, comme l’on voit, l’équation prime de la précédente, en supposant
variables à la fois ; par conséquent, cette équation n’aura pas la condition demandée, à moins que la partie dépendante de la variation des quantités
et
ne disparaisse, c’est-à-dire à moins qu’on n’ait
![{\displaystyle m'(y-b)+n'(z-c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e1c39816e7209e86f2f0aec8991ac3160d42b0)
Si cette condition a lieu, alors l’équation restante
![{\displaystyle a'+mb'+nc'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41368f48b7d7a6c9c57121a6de1f1b5344bbae62)
combinée avec les deux équations qu’on vient de trouver, donnera les valeurs de
qui seront les mêmes soit que les quantités
soient seules variables, soit que
et
varient aussi à la fois. Par conséquent, la droite dans laquelle est placé le rayon osculateur devieridra tangente à la courbe des centres ; donc aussi ce rayon sera tangent de la même-courbe, puisqu’il est terminé à cette courbe. Dans ce même cas, les expressions précédentes de
donneront sur-le-champ ces fonctions primes,
![{\displaystyle a'=-{\frac {(ny'-mz')d'}{\mathrm {R} }},\quad b'={\frac {(n-z')d'}{\mathrm {R} }},\quad c'=-{\frac {(m-y')d'}{\mathrm {R} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f910f682d20a424af6056a385840a2227e0e61df)
d’où l’on tire
![{\displaystyle a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=d'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f93e7f11402e015e02ac07cd80dbdf81b55fca)
et de là
![{\displaystyle d'={\sqrt {a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d79408fe6d52823231599a159da42d69b5f377)