en regardant
comme fonction de
et
de sorte que, si l’on désigne simplement par
les fonctions primes de
prises relativement à
seuls, les deux dernières équations deviendront
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c9856a7af1cc232f361aaf9ee796570b3dff06)
Donc, si la surface proposée est représentée par l’équation
![{\displaystyle f(x,y,z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae769b413860f6ae5461aae7ade41b990332f1b)
et que la surface donnée, qui doit avoir un point de contact avec celle-là, soit représentée par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501234595663d816811185ca701010a2b5cadcfd)
la première donnera, en prenant les fonctions primes relatives à
et
ces deux-ci :
![{\displaystyle f'(x)+z'f'(z)=0,\quad f'(y)+z_{_{'}}f'(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6734cb66e9d87407dc984aa7cd8b5573885002c4)
Ces deux équations combinées avec les deux précédentes, de manière à en chasser les dérivées
et
on aura ces deux-ci :
![{\displaystyle {\frac {f'(x)}{\operatorname {F} '(x)}}={\frac {f'(z)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad {\frac {f'(y)}{\operatorname {F} '(y)}}={\frac {f'(z)}{\operatorname {F} '(z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b18dbdc32f6e6f5a5a2ea0659f204db428f563)
d’où il s’ensuit que les trois fonctions dérivées
doivent être respectivement proportionnelles aux fonctions dérivées ![{\displaystyle \operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1c940c105d1eafa55eddab692d23b173904b35)
41. Si, dans l’expression générale de la distance
on développe les deux fonctions qu’elle contient, en poussant le développement jusqu’aux secondes dimensions de
et
et qu’on suppose que les trois équations ci-dessus aient déjà lieu, on aura simplement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} =&{\frac {i^{2}}{2}}\left[z''-\operatorname {F} ''(x,y)\right]+io\left[z'_{_{'}}-\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)\right]+{\frac {o^{2}}{2}}\left[z_{_{''}}-\operatorname {F} _{_{''}}(x,y)\right]\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}\mathrm {A} '''+{\frac {i^{2}o}{2}}\mathrm {A} ''_{_{'}}+{\frac {io^{2}}{2}}\mathrm {A} '_{_{''}}+{\frac {o^{3}}{2.3}}\mathrm {A} '_{_{'''}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9e9dfe5def4b4ec8431e5a0dc1c8cae707cfb0)