CHAPITRE IX.
Des sphères osculatrices. Des lignes de plus grande et de moindre courbure. Propriétés de ces lignes.
44. Nous venons de voir que, parmi toutes les sphères touchantes, il ne peut y en avoir aucune qui devienne proprement osculatrice de la surface ; mais on peut toujours déterminer celle qui sera osculatrice d’une courbe quelconque tracée sur la même surface. Pour cela, il n’y aura qu’à supposer
fonction de
comme dans les courbes à double courbure, et prendre, dans cette hypothèse, les équations primes et secondes de l’équation de la sphère
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}-d^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2824597f85e55c9c0799b6087f60aac7d6290d1b)
L’équation prime sera
![{\displaystyle x-a+y'(y-b)+(z'+y'z_{_{'}})(z-c)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c3a6c7698d641891624862a8b174e5b3799c63)
en regardant toujours
comme fonction de
et
dont les deux fonctions primes sont
et
et ensuite
comme fonction de
dont
est la fonction prime. On trouvera, de la même manière, cette équation seconde :
![{\displaystyle 1+y'^{2}+y''(y-b)+(z'+y'z_{_{'}})^{2}+\left(z''+2y'z'_{_{'}}+y'^{2}z_{_{''}}+y''z_{_{'}}\right)(z-c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14eb9c9b05e1982cdb1bd47ba6bc504a82e2e6c5)
L’équation prime est déjà remplie par les deux équations primes du no 42 :
![{\displaystyle x-a+z'(z-c)=0,\quad y-b+z_{_{'}}(z-c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6524041791cdad5472f9ab37c30b69a3002f0108)
Ainsi, il ne reste qu’à satisfaire à l’équation précédente, laquelle, à