Par l’élimination de
on aura une équation en
de cette forme,
![{\displaystyle \mathrm {A} y'^{2}-\mathrm {B} y'-\mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8d17549e29788c8e1edd12079f621f9592de81)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&\left(1+z_{_{'}}^{2}\,\right)z'_{_{'}}\ -z'z_{_{'}}z_{_{''}},\\\mathrm {B} =&\left(1+z'^{2}\right)z_{_{''}}-\left(1+z_{_{'}}^{2}\right)z'',\\\mathrm {C} =&\left(1+z'^{2}\right)z'_{_{'}}\ -z'z_{_{'}}z'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615fdd006b7772d6f3cea6eb5bff024abc5de6d5)
et la résolution de cette équation donnera
![{\displaystyle y'=\mathrm {\frac {B\pm {\sqrt {B^{2}+4AC}}}{2A}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7b5146a392a9bb53bc47ad155f96a49a750097)
équation du premier ordre en
et
puisque
étant, par la nature de la surface, une fonction donnée de
et
les quantités
seront aussi des fonctions données de
et
Donc l’équation primitive en
et
renfermera une constante arbitraire et représentera une infinité de courbes qui seront les projections des lignes de plus grande et de moindre courbure de la surface proposée.
Si l’on combine les deux équations ci-dessus de manière à faire disparaître les termes où
et
se trouvent ensemble, on en tirera
![{\displaystyle z-c={\frac {\left(1+z'^{2}\right)z_{_{''}}-z'z_{_{'}}z'_{_{'}}-\mathrm {A} y'}{z_{_{'}}^{'2}-z''z_{_{''}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309f530ce2201b654cdf1e78d958855bc8e6fe1d)
Donc, substituant la valeur de
et faisant de plus
![{\displaystyle \mathrm {E} =2z'z_{_{'}}z'_{_{'}}-\left(1+z'^{2}\right)z_{_{''}}-\left(1+z_{_{'}}^{2}\right)z'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac65725ef964b3c9f388f0c858db46a4cc395ce)
on aura
![{\displaystyle z-c={\frac {\mathrm {E\pm {\sqrt {B^{2}+4AC}}} }{2\left(z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922b91ddbdd427eeb1c4c6a3c6a5e02b06a73c47)
et de là
![{\displaystyle d={\frac {\left(\mathrm {E\pm {\sqrt {B^{2}+4AC}}} \right){\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}}{2\left(z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84149fd0d76aa91e40e91b4e71792d87e23fb7fe)
d’où l’on voit que les deux valeurs du radical donnent l’une le maximum et l’autre le minimum du rayon ![{\displaystyle d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6636c10463ecb6f29e5bb5c3a7512265add0369)