de la même équation relativement à ces quantités. Ainsi, en désignant par
les fonctions primes de la fonction
prises relativement aux seules quantités
considérées séparément, on aura encore ces deux équations primes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'\,\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\,\operatorname {F} '(c)=&0,\\a_{_{'}}\operatorname {F} '(a)+b_{_{'}}\operatorname {F} '(b)+c_{_{'}}\operatorname {F} '(c)=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b51c50dc7cf28a7a9934f497770204e8530ebcf)
Soit
![{\displaystyle c=f(a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028aec1e7f32f152c76f65a54e237f256f90276d)
l’équation qui exprime la relation donnée entre les quantités
en prenant de même les deux équations primes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}c'=&a'f'(a)+b'f''(b),\\c_{_{'}}=&a_{_{'}}f'(a)+b_{_{'}}f'(b),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfda5e800619312fda23a0578e41da37068477c)
et
étant les deux fonctions primes de
prises relativement à
et
isolées. Substituant ces valeurs de
et
dans les deux équations précédentes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'\left[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(c)\right]&+b'\left[\operatorname {F} '(b)+f'(b)\operatorname {F} '(c)\right]=0,\\a_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(c)\right]&+b_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(b)+f'(b)\operatorname {F} '(c)\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ab76f38acc250e367894ce2887e4fda23c23ce)
d’où l’on tire cette équation
![{\displaystyle a'b_{_{'}}-b'a_{_{'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848715568bfd4bd2d58e63432865088b41364cbe)
où la fonction désignée par la caractéristique
n’entre plus.
Si donc on substitue dans cette équation
les valeurs de
en
et
on aura une équation du second ordre, dont l’équation primitive du premier ordre sera
![{\displaystyle c=f(a,b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/688af3d1bbd061853cf1a9b0677809a48bea2bf6)
la fonction désignée par
étant arbitraire ; et l’équation primitive de celle-ci entre
sera le système de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0417a080fc4b7ee4e083cb7c317afec908bbb41d)
et de son équation prime, prise relativement à
après y avoir substi-