63. Les mêmes équations
![{\displaystyle \beta +\gamma '=f'(y'),\quad \gamma +\delta '=f'(y''),\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f681a9d04401c1bb19caa9bec59f38674949ed1)
donneront, par un procédé semblable,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\beta =f'(y'\ )-\left[f'(y''\ )\right]'+\left[f'(y''')\right]''-\ldots ,\\&\gamma =f'(y''\,)-\left[f'(y''')\right]'+\ldots ,\\&\delta =f'(y''')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61f602002a7eb3353b92766d1cf0c1f41327173)
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \Omega =\omega \beta +\omega '\gamma +\omega ''\delta +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961a842cc2b7191166d319ceae41927c809a4063)
la fonction primitive de la quantité
sera
et, comme cette fonction doit être nulle lorsque
si l’on dénote par
la valeur de
qui répondra à
on aura, puisque
est une constante arbitraire,
et par conséquent
On aura donc
pour la fonction primitive, qui doit être nulle, en vertu du maximum ou minimum, lorsque
Si donc on dénote encore par
la valeur de
qui répondra à
on aura l’équation
![{\displaystyle \mathrm {B-A} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad51308a0445f6366fef80a9a78c19c700a2db46)
à laquelle il faudra satisfaire par le moyen des constantes arbitraires qui entreront dans l’expression de
qu’on déduira de l’équation trouvée ci-dessus, en ayant égard d’ailleurs aux conditions spéciales du problème.
Ainsi, par exemple, si la valeur de
est donnée pour les valeurs
de
alors la valeur de
sera nulle dans les deux quantités
et
si, de plus, la valeur de
était aussi donnée pour les mêmes valeurs de
les valeurs de
seraient aussi nulles dans
et
et ainsi de suite.
Les quantités
étant réduites au plus petit nombre possible tant dans l’expression de
que dans celle de
on égalera à zéro le coefficient de chacune de celles qui resteront pour satisfaire à l’équation
indépendamment de ces quantités.