65. Pour simplifier la solution de cette question, nous supposerons d’abord que la quantité proposée ne renferme que les carrés et les produits des deux-quantités on verra aisément que la même méthode s’étend aux cas plus compliqués, et nous représenterons par cette formule
la partie de la même quantité qui est toujours positive ou négative entre les limites l’autre partie sera
dont il faudra chercher la fonction primitive, et il est facile de s’assurer d’avance que, pour que la quantité demeure indéterminée, cette fonction ne pourra être que de la forme prenant donc sa fonction prime et comparant terme à terme avec la précédente, on aura
La première de ces équations donne égale à une constante arbitraire, et les trois autres serviront à déterminer les valeurs de qui seront
et il faudra que ces valeurs satisfassent aux conditions qui résultent des formules du no 56. Or, en prenant les quantités et à la place des quantités et et par conséquent à la place de et faisant on aura pour le minimum les deux conditions et et pour le maximum les conditions opposées et ou bien l’une des deux quantités égale à zéro, tant pour le minimum que pour le maximum, et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de depuis jusqu’à pour que la quantité soit constamment positive dans le premier cas et négative dans le second entre ces mêmes limites. Comme la quantité est donnée, elle indiquera tout de suite le maxi-