qui serviront à déterminer les quantités
et
en fonction de
Ensuite il faudra, relativement aux quantités
et
satisfaire à des conditions semblables à celles qu’on a trouvées par rapport à
et
c’est un détail qui nous mènerait trop loin et que le lecteur peut suppléer.
On voit par là que, s’il y avait une quatrième variable
on aurait, relativement à cette variable, une équation semblable à celles qui répondent aux variables
et
et ainsi de suite.
72. Mais si, dans la fonction
la quantité
dépendait des quantités
et
d’une manière quelconque donnée par l’équation
![{\displaystyle \varphi (x,y,y',\ldots ,z,z',\ldots )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00798dbde9914a368ef6daf62a86f3c74705d61)
alors, suivant les mêmes principes du no 58, on ajouterait simplement la fonction
multipliée par un coefficient indéterminé et variable
à la fonction proposée
et l’on chercherait, par les méthodes exposées, le maximum ou minimum de la fonction primitive de cette fonction composée, en regardant les quantités
et
comme indépendantes. Ainsi, on trouvera d’abord, pour le maximum ou minimum, les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots &+\Delta \varphi '(y)-\left[\Delta \varphi '(y')\right]'+\left[\Delta \varphi '(y'')\right]''-\ldots =0,\\f'(z)-\left[f'(z')\right]'+\left[f'(z'')\right]''-\ldots &+\Delta \varphi '(z)\,-\left[\Delta \varphi '(z')\right]'+\left[\Delta \varphi '(z'')\right]''-\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a32f452cce0107d74cc551ed52ec91c9d275681)
d’où, éliminant la quantité
on aura une équation qui, combinée avec l’équation donnée
servira à déterminer les valeurs de
et
en fonction de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Enfin, si la fonction primitive de la fonction
ne devait être un maximum ou un minimum qu’autant que la fonction primitive d’une autre fonction
serait donnée entre les mêmes valeurs
et
de
il n’y aurait qu’à chercher le maximum ou minimum de la somme des deux fonctions primitives, après avoir multiplié