tante. Nous avons trouvé (no 62) que, pour que la quantité
![{\displaystyle \omega f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f''(y'')+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66f4821152fcc034e6609ced3d6080de276f50d)
ait une fonction primitive, quelle que soit la valeur de
il faut satisfaire à l’équation
![{\displaystyle f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc49f8f8df17e66fa611cbb3f978d771e625e06)
Donc, si cette quantité était d’elle-même la fonction prime d’une fonction de
l’équation précédente aurait aussi lieu d’elle-même et serait par conséquent identique.
Or on voit, par le no 61, que la quantité dont il s’agit n’est autre chose que la partie du développement de la fonction
![{\displaystyle f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ae77e6037f8e2eae0fac26123bbd30cdfd0081)
qui ne contient que les premières dimensions de
et je vais prouver que cette quantité sera nécessairement une fonction prime si
est elle-même une fonction prime d’une fonction de ![{\displaystyle x,y,y',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992acb2c8983b07c8a59b60f3f59cde2e49b002c)
En effet, si cette fonction est une fonction prime, quelle que soit la valeur de
en
elle le sera encore en mettant
au lieu de
quelle que soit la quantité
donc la fonction
![{\displaystyle f(x,y+\omega ,y'+\omega ',\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a109e2a4847aa586e1ba58db700cc7080a1e1a05)
sera aussi nécessairement une fonction prime, en prenant pour
une fonction quelconque de
Supposons que cette fonction soit développée suivant les puissances et les produits de
et dénotons respectivement par
les parties de ce développement qui contiendront les premières dimensions, les deuxièmes dimensions, les troisièmes, etc. des mêmes quantités ; on aura
![{\displaystyle f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots )=f(x,y,y',y'',\ldots )+\mathrm {P+Q+R} +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f5381b53b305dab55c828b1afffec99f180593)
Ainsi, il faudra que la quantité
soit la fonction prime d’une fonction de
et de
et il est facile de