et la fonction proposée deviendra
![{\displaystyle y'\varphi '(t)f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84557f1af14cf428d55fee0543c9269553ee4454)
dont il faudra prendre la fonction primitive par rapport à
étant regardée comme constante, et ensuite par rapport à
étant regardée comme constante. Or on peut aussi substituer à la place de
une autre variable
et supposer, puisque
est à son égard constante,
![{\displaystyle y=\psi (t,u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d415d3579c090e059a2d4b87a926ac4496e068eb)
ce qui donnera, en ne faisant varier que ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle y'=\psi '(u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f61d1cfe051e8aa2bfd2701a9853436aefdeee1)
Ainsi la fonction proposée deviendra
![{\displaystyle \varphi '(t)\psi '(u)f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df8cac7454b5e49d1c4e181949d9db6688af709)
laquelle ne renferme plus que
et
à cause de
![{\displaystyle x=\varphi (t,y)\quad y=\psi (t,u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9dd42df8a2cccba9eb3b1e7c5a7d252358c2c88)
et dont on pourra prendre la double fonction primitive par rapport à
et à ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Puisque
et
on aura, après la substitution de
égale à une simple fonction de
et
que nous dénoterons par
de manière que les transformations de
et
en
et
seront représentées par
![{\displaystyle x=\chi (t,u),\quad y=\psi (t,u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863c3c94f3f1d60e86dcf682337f8b2d7dfe03e2)
Or l’équation identique
![{\displaystyle \varphi (t,y)=\chi (t,u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add29079501090b3d503da196b82f108c2a496ca)
donne, en faisant varier séparément
et ![{\displaystyle u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dcc93e14b40416ed2d1391bc6c08ee99fa5ff6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '(t,y)+\varphi '(y)\psi '(t)=&\chi '(t),\\\varphi '(y)\psi '(u)=&\chi '(u)\,:\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e908b8ec162553877eea0c338de9379dde97dd)
éliminant
on aura
![{\displaystyle \varphi '(t,y)=\chi '(t)-{\frac {\psi '(t)\chi '(u)}{\psi '(u)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c352f11e1701639375d05bc783852d833158153c)