Supposons d’abord que les trois mouvements relatifs aux axes des
soient uniformes on aura
![{\displaystyle x=at,\quad y=bt,\quad z=ct,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/896f0b3dcd9e4bc96e7e49f064242491789d16eb)
étant les vitesses de ces mouvements. Éliminant
on aura
![{\displaystyle y={\frac {bx}{a}}\quad {\text{et}}\quad z={\frac {cx}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22db46976bcccb5ef6d5602db528cc4a649e98b)
deux équations qui appartiennent à une ligne droite passant par l’origine des coordonnées, et dont les projections sur les plans des
et des
font, avec l’axe des
des angles dont
et
sont les tangentes. La partie de cette droite qui répond aux coordonnées
sera donc
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=t{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44546db189287bf792679799c1f448c0e07820a3)
ce sera l’espace décrit pendant le temps
en vertu des trois mouvements uniformes. Ce mouvement composé sera donc aussi rectiligne et uniforme, avec une vitesse égale à
À l’égard de sa direction, il est plus simple de la rapporter aux trois axes des coordonnées
et il est visible que, puisque
sont les projections de la ligne
sur les trois axes, les rapports
![{\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\quad {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},\quad {\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1285c628bd875b4f91a575343e7c69203ed9209d)
seront les cosinus des angles que cette direction fait avec les mêmes axes. La somme des carrés de ces cosinus est, comme l’on voit, égale à l’unité, ce qui est la propriété connue des angles qu’une même droite fait avec trois autres droites perpendiculaires entre elles.
8. Nommons
la vitesse du mouvement composé et
les angles que la direction de ce mouvement fait avec les trois axes ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03c1fd8af3be2b0dbf128751b96753e64ba124a)
et
![{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {A} }}=\cos \alpha ,\quad {\frac {b}{\mathrm {A} }}=\cos \beta ,\quad {\frac {c}{\mathrm {A} }}=\cos \gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e723a26bf4d31b24896b66edeaf237f8864729)