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second ordre qui serviront à déterminer $x,y$ et $z$ en $t.$ Les problèmes de la première espèce ne dépendent que de l’analyse directe des fonctions et sont, par conséquent, toujours résolubles ; ceux de la seconde espèce dépendent de l’analyse inverse des fonctions et sont sujets à toutes les difficultés de cette analyse.

Si le mobile était sollicité à la fois par deux forces accélératrices $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ suivant des directions faisant avec les axes des $x,y,z$ des angles $\lambda ,\mu ,\nu$ pour la force $\mathrm {P}$ et $\varpi ,\rho ,\sigma$ pour la force $\mathrm {Q} ,$ on aurait, par les formules des numéros cités,

${\begin{aligned}x''=&\mathrm {P} \cos \lambda +\mathrm {Q} \cos \varpi ,\\y''=&\mathrm {P} \cos \mu +\mathrm {Q} \cos \rho ,\\z''=&\mathrm {P} \cos \nu +\mathrm {Q} \cos \sigma ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite, pour tel nombre de forces qu’on voudra.

13. Supposons que les directions des forces $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ fassent avec la tangente de la courbe les angles $\Delta ,\Gamma \,;$ puisque, dans les formules du n^o 11, les angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont les mêmes que ceux de la tangente avec les trois axes, on aura, par la formule trouvée à la fin du n^o 8,

$\cos \Delta =\cos \alpha \cos \lambda +\cos \beta \cos \mu +\cos \gamma \cos \nu ,$

et de même,

$\cos \Gamma =\cos \alpha \cos \varpi +\cos \beta \cos \rho +\cos \gamma \cos \sigma .$

Donc, multipliant les trois dernières équations du numéro précédent par $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ et les ajoutant ensemble, on aura

$x''\cos \alpha +y''\cos \beta +z''\cos \gamma =\mathrm {P} \cos \Delta +\mathrm {Q} \cos \Gamma .$

Substituant pour $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ leurs valeurs ${\frac {x'}{u}},{\frac {y'}{u}},{\frac {z'}{u}}$ (n^o 11) et remarquant que ${\frac {x'x''+y'y''+z'z''}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}}$ est la fonction prime de ${\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},$ c’est-à-dire de $s',$ que, par conséquent, cette quantité est égale à $s'',$ on aura l’équation

$s''=\mathrm {P} \cos \Delta +\mathrm {Q} \cos \Gamma ,$