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Développant le dénominateur en série par les règles connues, on aura

$(p+ip'+\ldots )\left({\frac {1}{q}}-{\frac {iq'}{q^{2}}}+\ldots \right)={\frac {p}{q}}+i\left({\frac {p'}{q}}-{\frac {q'p}{q^{2}}}\right)+\ldots \,;$

16. Soit, en général, $y=f(p)\,;$ en regardant $f(p)$ comme une fonction primitive de $p,$ sa fonction prime sera $f'(p),$ en sorte que, $p$ devenant $p+o$ (j’emploie ici la quantité indéterminée $o$ à la place de la quantité indéterminée $i,$ qui désignera toujours l’augmentation indéterminée de $x$), $f(p)$ deviendra (n^o 8)

$f(p)+of'(p)+o^{2}{\frac {2}{f''(p)}}+\ldots .$

Or, $p$ étant une fonction de $x,$ lorsque $x$ devient $x+i,$ $p$ devient (n^o 8)

$p+ip'+{\frac {i^{2}p''}{2}}+\ldots \,;$

donc, faisant $o=ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots ,$ $f(p)$ deviendra, par la substitution de $x+i$ à la place de $x,$

$f(p)+ip'f'(p)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[p'^{2}f''(p)+p''f'(p)\right]+\ldots \,;$

par conséquent, on aura

$y'=p'f'(p),$

d’où résulte ce principe, que la fonction prime d’une fonction d’une quantité qui est elle-même une fonction d’une autre quantité est égale au produit des fonctions primes des deux fonctions.

Supposons maintenant que $y$ soit une fonction de $p$ et de $q,$ que nous désignerons par $f(p,q)\,;$ il s’agit donc de substituer $x+i$ à la place de $x$ dans les deux fonctions $p$ et $q.$ Or il est visible que l’on doit avoir le même résultat, soit qu’on fasse ces deux substitutions à la fois ou