par l’élimination immédiate du temps
En effet,
et
étant fonctions de
on peut réciproquement regarder
et
comme fonctions de
et, par la règle donnée dans le no 50 de la première Partie, si l’on regarde, en général,
comme fonctions d’une autre variable quelconque
il faudra substituer
et
à la place de
et
à la place de
mais, en prenant
pour variable principale à la place de
on fera
et l’on aura à substituer
et
à la place de
et
et
et
à la place de
et
Les deux équations deviendront donc, à cause de
![{\displaystyle -{\frac {t''}{t'^{3}}}=-{\frac {r}{\sqrt {1+y'^{2}}}},\quad {\frac {y''}{t'^{2}}}-{\frac {y't''}{t'^{3}}}=-g-{\frac {ry'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca955af2d7eba7be8d6277b667dd115713a2b4bc)
d’où il faudra éliminer la fonction
Substituant, dans la seconde équation, la valeur de
tirée de la première, elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {y''}{t'^{2}}}=-g\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c74bfb1383172e26dcb8ac0543dc89eafb1941)
divisant par
et prenant de part et d’autre les fonctions primes, on aura
![{\displaystyle -{\frac {2t''}{t'^{3}}}={\frac {gy'''}{y''^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7692506261ce5a771d7f56ca4f9ebb9a567f7a7c)
valeur qui, étant substituée dans la première équation, donnera, comme plus haut,
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}=-{\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2y''^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258c5a48f481256856d9af6bdd0eb6401a2beeba)
À l’égard de la vitesse
elle deviendra
et, comme on vient de trouver
la vitesse deviendra
comme ci-dessus.
Si la force de la gravité
était variable, alors la valeur de
que