D’un autre côté, puisque
et
deviennent en même temps
et
on aura aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&x'\theta +x''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+x'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\\mathrm {Q} o-\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}-\ldots =&y'\,\theta +y''\,{\frac {\theta ^{2}}{2}}+y'''\,{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3682c17a2e3d5ac9ec324e00594bf9601a7bf521)
Donc, comme la flèche est exprimée en général par
son expression en
sera
![{\displaystyle \mathrm {Q} \left(x'\theta +x''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+x'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots \right)-y'\theta -y''{\frac {\theta ^{2}}{2}}-y'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e904a18adc952671a8d0acc00d713ee3432ff7b8)
ou
![{\displaystyle (\mathrm {Q} x'-y')\theta +(\mathrm {Q} x''-y''){\frac {\theta ^{2}}{2}}+(\mathrm {Q} x'''-y'''){\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a68d2b300c70d38374728299eab878a9f4f0804)
Les deux premiers termes se réduisent à
par la substitution des valeurs de
pour avoir le terme suivant, il n’y aura qu’à chercher les valeurs de
d’après celles de
Or on a
![{\displaystyle y''=\mathrm {Q} x''-g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5df785fa5cb00035f5bb7e9b50e9a65d5865ef)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y'''=\mathrm {Q} x'''+\mathrm {Q} 'x'',\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {Q} x'''-y'''=-\mathrm {Q} 'x''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4f24e29943dd5064c8ba7cb9270bdd42d790de)
Pour avoir
je prends l’équation
![{\displaystyle y'=\mathrm {Q} x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c345d79432489726197536533a3bae0074801b8)
qui résulte des valeurs
et
trouvées ci-dessus, d’où l’on tire
![{\displaystyle y''=\mathrm {Q} x''+\mathrm {Q} 'x'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd6a04b0ac077c10b9717f3e269381f61202187)
donc
![{\displaystyle \mathrm {Q} '={\frac {y''-\mathrm {Q} x''}{x'}}=-{\frac {g}{x'}},\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {Q} x'''-y'''=g{\frac {x''}{x'}}=-{\frac {gr}{u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fff5cf234b32802d8839d74b0a504d6c643d10)
Il résulte de là que l’expression de la flèche, au lieu d’être simple-