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exprimée par $\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y),$ en désignant par $\operatorname {F} '(x)$ et $\operatorname {F} '(y)$ les fonctions primes de la fonction $\operatorname {F} (x,y),$ prises relativement à $x$ seul et à $y$ seul.

Donc l’équation $\operatorname {F} (x,y)=0$ donnera

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0,$

d’où l’on tire

$y'=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(y)}}.$

Ayant ainsi la valeur de la fonction prime $y'$ en fonction de $x$ et $y,$ on aura celle de $y''$ en prenant la fonction prime de cette fonction, et ainsi de suite.

Il résulte de l’analyse précédente ce principe :

Lorsqu’on a une équation quelconque entre deux variables $x,y,$ l’équation subsistera encore entre les fonctions primes de tous ses termes, ainsi qu’entre leurs fonctions secondes, etc. Nous appellerons ces nouvelles équations équations dérivées, et en particulier équations primes, équations secondes, etc., celles qu’on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc.

Si l’équation ne contenait qu’une seule variable qui dût demeurer indéterminée, ce qui a lieu dans les équations identiques, le même principe subsisterait, et l’on aurait également une équation prime, une équation seconde, etc., qui seraient aussi identiques.

Les Leçons III, IV, V, VI et VII sur le Calcul des fonctions renferment un commentaire sur les principaux points que nous venons de traiter dans ce Chapitre ; on y trouvera des développements utiles et importants et des applications nouvelles.