répulsives ou attractives, parce que les premières tendent à augmenter, les distances
et les secondes à les diminuer.
42. Si les forces
sont respectivement des fonctions quelconques des distances
suivant lesquelles elles agissent, ce qu’on peut toujours supposer lorsque ces forces sont indépendantes les unes des autres, ou, en général, si les quantités
sont des fonctions de
telles que la quantité
soit la fonction prime d’une fonction de
que nous désignerons par
l’équation primitive de l’équation ci-dessus sera
![{\displaystyle \mathrm {M} u^{2}+\mathrm {N} v^{2}+\ldots =\mathrm {K} +2\operatorname {F} (p,q,\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add41c05641f5f58d475ec7e415571d18b8b06e4)
étant une constante arbitraire ; et, dans ce cas, les forces
qui agissent suivant les lignes
seront représentées par les fonctions primes ![{\displaystyle \operatorname {F} '(p),\operatorname {F} '(q),\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7ab3cd955c99ebefe782a10437c43fe6479783)
Soient
les valeurs de
dans un instant donné, et
les vitesses de
dans cet instant ; l’équation précédente, rapportée à ce même instant, donnera
![{\displaystyle \mathrm {MU^{2}+NV^{2}+\ldots =K} +2\operatorname {F} (a,b,\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58410500d42197ec253e1571b0c8c98989a41412)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {K=MU^{2}+NV^{2}} +\ldots -2\operatorname {F} (a,b,\ldots )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea603519e595c685def97208d053fbb99e7ec18)
donc, substituant cette valeur, on aura l’équation générale
![{\displaystyle \mathrm {M} u^{2}+\mathrm {N} v^{2}+\ldots =\mathrm {MU^{2}+NV^{2}} +\ldots +2\operatorname {F} (p,q,\ldots )-2\operatorname {F} (a,b,\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e086e2235f0b462775c6c669f706d98918a0b95)
Cette équation renferme le principe de la conservation des forces vives pris dans toute sa généralité. Elle fait voir que la force vive totale du système ne dépend que des forces actives qui animent les corps et de la position des corps relativement aux centres de ces forces, de sorte que, si dans deux instants les corps se trouvent à mêmes distances de ces centres, la somme de leurs forces vives sera aussi la même.
J’entends par forces actives les forces que les corps exercent les uns