Ce théorème est presque évident, car les valeurs de
et
que l’on tirerait de l’équation (3) et de sa dérivée seraient
et, comme l’équation (5) a lieu entre les constantes
et
il s’ensuit que l’équation (4) se trouvera aussi vérifiée. Si les fonctions
et
ne renfermaient que
et
l’équation (3) ne contiendrait plus de dérivées et serait, par suite, l’intégrale générale de l’équation proposée. Il résulte de là que, si, parmi les différentes manières, en nombre infini, d’écrire une équation différentielle, on en distingue une qui permette de lui donner la forme de l’équation (4), on aura, par cela seul, intégré une première fois cette équation.
II. Proposons-nous, comme application, de chercher l’équation intégrale des lignes de courbure d’une surface du second ordre à centre. L’équation de la surface étant
(1)
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l’équation différentielle des projections des lignes de courbure sur le plan
sera
(2)
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si maintenant on pose
![{\displaystyle {\frac {c^{2}}{\rho ^{2}}}\left(x^{2}-{\frac {xy}{y'}}\right)=\alpha ,\quad {\frac {c^{2}-b^{2}}{\rho ^{2}-b^{2}}}\left(y^{2}-xyy'\right)=\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab302460ef1dba3fe02343a5b627ee57c2ffbf0)
ces équations seront les intégrales premières de la même équation
![{\displaystyle xyy''-yy'+xy'^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80973a1d9721e58cf51790f1c98d4af9b45dfe4f)
on pourra donc appliquer le théorème à l’équation (2). Si l’on élimine
entre celles-ci, on aura
![{\displaystyle {\frac {c^{2}}{\rho ^{2}}}{\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {c^{2}-b^{2}}{\rho ^{2}-b^{2}}}{\frac {y^{2}}{\beta }}=1,\quad {\text{avec}}\quad \beta =\alpha -b^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5723c320a1535a6e350fd82ec0e17b74460f21)
nous ferons
et l’équation des projections des lignes de courbure sera finalement
(3)
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étant la constante arbitraire elle représente, comme on sait, des ellipses ou des hyperboles. Comme l’équation (3) est symétrique entre
et
si l’on considère
comme un paramètre variable et
comme déterminé, l’équation (3) représentera également les projections des lignes de courbure de la surface
(4)
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et, si
et
ont en même temps des valeurs déterminées, l’équation (3) représentera la projection d’une ligne de courbure commune aux surfaces (1) et (4), laquelle sera donc l’intersection de ces deux surfaces.
Si dans l’équation (1) on a
devra être compris entre
et
ou inférieur à ces deux quantités, car autrement les deux surfaces ne se couperaient pas. On conclut de là