Donc l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle \cos x+\sin x{\sqrt {-1}}=\left[1+n\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}+n^{2}\left(\mathrm {B} {\sqrt {-1}}-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}\right)x^{2}+\ldots \right]^{\frac {1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9ada509c69e9116a74374dfff4c9a4a6fd5eea)
Développons le second membre à la manière du binôme, en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}+n\left(\mathrm {B} {\sqrt {-1}}-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}\right)x^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ff4db22d3c7312ce7e2a643423ab3de81786f2)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}&=1+{\frac {1}{n}}(n\mathrm {X} )+{\frac {1-n}{n^{2}}}(n\mathrm {X} )^{2}+{\frac {(1-n)(1-2n)}{2.3.n^{3}}}(n\mathrm {X} )^{3}+\ldots \\&=1+\mathrm {X} +{\frac {1-n}{2}}\mathrm {X} ^{2}+{\frac {(1-n)(1-2n)}{2.3}}\mathrm {X} ^{3}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fca6327f700a8174e3635a0ba6523505499f539)
Comme les valeurs de
et de
doivent être indépendantes du nombre arbitraire
il s’ensuit que tous les termes du second membre qui se trouveront multipliés par une même puissance de
doivent se détruire d’eux-mêmes. Ne tenant donc compte que des termes où
ne se trouvera pas après le développement, il est aisé de voir que la quantité
se réduira à son premier terme
et que les coefficients des puissances de
se réduiront à
de sorte que l’on aura simplement
![{\displaystyle \cos x+\sin x{\sqrt {-1}}=1+\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}+{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}\right)^{2}+{\frac {1}{2.3}}\left(\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}\right)^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff448498bf955849ad65474974908cb6f65b818)
En effectuant les puissances de
et comparant les parties réelles des deux membres ensemble et les imaginaires ensemble, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x=&\mathrm {A} x-{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{3}}{2.3}}+{\frac {\mathrm {A} ^{5}x^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\\\cos x=&\ \ 1\ \,-{\frac {\mathrm {A} ^{2}x^{2}}{2}}+\ {\frac {\mathrm {A} ^{4}x^{4}}{2.3.4}}\ -\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19e692f88493687149319c477e90802ce7e52ad)
22. Pour avoir de même la valeur de
en sinus et cosinus de
il n’y aura qu’à reprendre la formule fondamentale
![{\displaystyle \cos x+\sin x{\sqrt {-1}}=\left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5a96da3fa7b673a839ec987da4c6b8b6939e95)