Comme on peut prendre le radical
en plus ou en moins, il est visible qu’en le prenant successivement en plus et en moins, et soustrayant les deux équations l’une de l’autre, on aura, après avoir divisé par
![{\displaystyle x={\frac {\operatorname {tang} x-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}x+{\frac {1}{5}}\operatorname {tang} ^{5}x-\ldots }{\mathrm {A} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1d09f7ea06c9565d7f9498b775b1cc5bc57ad1)
Au reste, il est visible que l’équation trouvée au no 21,
![{\displaystyle \cos x+\sin x{\sqrt {-1}}=1+\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}+{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}\right)^{2}+{\frac {1}{2.3}}\left(\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}\right)^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70abbd917c65437d45a1e0d8e87d1b585aff7a61)
se réduit directement à celle-ci
![{\displaystyle \cos x+\sin x{\sqrt {-1}}=a^{x{\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801b1ea48c56ee4c6161d036ecbeeea3de430ab6)
par la formule du no 11, en prenant pour
une quantité dépendante de
comme nous l’avons déterminée dans ce même endroit, c’est-à dire en sorte que
étant un nombre donné qui est la base des logarithmes hyperboliques.
De cette formule on tire tout de suite, en prenant le radical en plus et ensuite en moins, les expressions connues de
en exponentielles imaginaires,
![{\displaystyle \sin x={\frac {a^{x{\sqrt {-1}}}-a^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \cos x={\frac {a^{x{\sqrt {-1}}}+a^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c13ffd85930d1a2272c7a5ca723970ed12cfceb)
et, passant des exponentielles aux logarithmes,
![{\displaystyle x\operatorname {l} a{\sqrt {-1}}=\operatorname {l} \left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)=\operatorname {l} \cos x+\operatorname {l} \left(1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726784896ad3d9ad7859a16d3a95db8b00712695)
ou bien, en prenant successivement le radical en plus et en moins, et soustrayant une équation de l’autre,
![{\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {l} a}}.{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {l} {\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a1afd7f366c2a1a89896e4e272ac26bcf29d31)
d’où l’on peut déduire les séries trouvées ci-dessus en employant les développements des exponentielles et des logarithmes exposés dans les nos 18 et 19.