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il faudra que l’on ait, quelque petit que soit l’arc $x,$

$\mathrm {A} x-{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{3}}{2.3}}+{\frac {\mathrm {A} ^{5}x^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots <x,\quad >{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$

Donc aussi, en divisant par $x,$

$\mathrm {A} -{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{2}}{2.3}}+{\frac {\mathrm {A} ^{5}x^{4}}{2.3.4.5}}-\ldots <1,\quad >{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$

Comme

${\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{1+x^{2}}}\quad {\text{et}}\quad {\sqrt {1+x^{2}}}>1,$

il est clair que

${\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}>{\frac {1}{1+x^{2}}},$

et en même temps on voit que

${\frac {1}{1+x^{2}}}>1-x^{2},$

car la différence est ${\frac {x^{4}}{1+x^{2}}}\,;$ ainsi la quantité qui est plus grande que ${\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$ sera à plus forte raison plus grande que $1-x^{2},$ de sorte qu’on pourra réduire l’espèce d’équation d’inégalité ci-dessus à cette forme

$\mathrm {A} -{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{2}}{2.3}}+{\frac {\mathrm {A} ^{5}x^{4}}{2.3.4.5}}-\ldots <1,\quad >1-x^{2}.$

Or, en prenant $x$ tel que ${\frac {\mathrm {A} ^{2}x^{2}}{2.3}}$ soit $<1,$ il est visible que la série $\mathrm {A} -{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{2}}{2.3}}+\ldots$ sera convergente et $<\mathrm {A} ,$ mais $>\mathrm {A} -{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{2}}{2.3}},$ parce qu’en ajoutant ensemble le second et le troisième terme, le quatrième et le cinquième, et ainsi de suite, on n’aura que des quantités toutes négatives, et qu’au contraire, en ajoutant le troisième et le quatrième, le cinquième et le sixième, etc., on n’aura que des quantités toutes