de
telle que la supposition de
les rende toutes les deux nulles à la fois, et qu’on demande la valeur de cette fraction lorsque
On fera
et par conséquent
En supposant
cette équation se vérifie d’elle-même, indépendamment de la valeur de
qui demeure par conséquent indéterminée ; ainsi elle ne peut servir dans cet état à la détermination de
lorsque
Mais, en prenant l’équation prime, on aura
![{\displaystyle y'\operatorname {F} (x)+y\operatorname {F} '(x)=f'(x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb29d85f6360ed96c9d33a4377decfe2401ac52)
la supposition de
fait disparaître le terme
et le reste de l’équation donne
S’il arrivait que les fonctions primes
devinssent aussi nulles par la même supposition, alors on trouverait par le même principe, en substituant dans l’équation ci-dessus
pour
cette nouvelle expression de
et ainsi de suite. On pourrait aussi la déduire directement de la même équation prime, en considérant que, comme elle se vérifie de nouveau d’elle-même, elle ne peut pas servir non plus à la détermination de
que par conséquent il sera nécessaire de passer à l’équation seconde, laquelle sera
![{\displaystyle y''\operatorname {F} (x)+2y'\operatorname {F} '(x)+y\operatorname {F} ''(x)=f''(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5dcfdb4337d7c3359caf7f01dc6b678a7427e38)
Comme la supposition de
rend nulles les fonctions
et
les termes qui contiennent
et
s’en iront d’eux-mêmes, et les termes restants donneront
comme plus haut.
Il n’est pas à craindre que les fonctions
à l’infini puissent devenir nulles en même temps par la supposition de
comme quelques géomètres paraissent le supposer, car, puisque
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1cee8da1433a35656343eed577e2074f60506d)
en faisant
on aurait
quel que soit
ce qui est