les fonctions dérivées par rapport à
et à
nous marquerons ces dernières par un trait placé au bas.
On a d’abord, par les fonctions dérivées relatives à
![{\displaystyle f'(x+i)=f'(x)+i\mathrm {P} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd404f8166d48475a2290029e015123fd3dcbcce)
ensuite, par les fonctions dérivées relatives à ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle f'(x+i)=\mathrm {P} +i\mathrm {P} _{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4d590bf47259b8c6574fa4bc0bc2411bca4878)
car il est visible que, relativement à
la dérivée de
est la même que relativement à
On aura donc
![{\displaystyle f'(x)+i\mathrm {P} '=\mathrm {P} +i\mathrm {P} _{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae0f000b2e3c82fe5442a2b5d9c92428e0ba552)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {P} =f'(x)+i\mathrm {\left(P'-P_{_{'}}\right)} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9235a1ac9ea8123d4815583b34b4ea8d7aa44f2c)
Faisons
on aura, en substituant la valeur de ![{\displaystyle \mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780cae1add02ad4aa1c3719fb704cc88e591f64f)
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+i^{2}\mathrm {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a8415f55874073f3b798bcebb8717658f06a3b)
Prenons de nouveau les fonctions dérivées par rapport à
et par rapport à
on aura
![{\displaystyle f'(x+i)=f'(x)+if''(x)+i^{2}\mathrm {Q} '\quad {\text{et}}\quad f'(x+i)=f'(x)+2i\mathrm {Q} +i^{2}\mathrm {Q} _{_{'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd0a8ac9c3989637f8a3187a88e7f8dca370023)
donc
![{\displaystyle f''(x)+i\mathrm {Q} '=2\mathrm {Q} +i\mathrm {Q} _{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77946c5beab63751c7cebf2357857882195fd196)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {f''(x)+i\mathrm {\left(Q'-Q_{_{'}}\right)} }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e752a4bf83dc52a2543d55f1d239bd5ce03ec7c4)
Donc, si l’on fait
on aura, en substituant,
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+i^{3}\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2976cea44261070d5a1a224c24479b25bfbe464e)
On trouvera de même, en faisant
et ainsi de suite.
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+i^{4}\mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76829bb621e9f01ab007f4e58f34faa97738dfc7)
et ainsi de suite.