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$t-\theta$ au point $\mathrm {O} (\xi ,\eta ,\zeta )$ (fig. 1), les formules (1) deviendront :

(2)

$\quad \Psi ={\frac {e}{r(1-\beta \cos \lambda )}},\quad \mathrm {F} ={\frac {e\xi '}{r(1-\beta \cos \lambda )}},\quad \mathrm {G} ={\frac {e\eta '}{r(1-\beta \cos \lambda )}},$

$\mathrm {H} ={\frac {e\zeta '}{r(1-\beta \cos \lambda )}}.$

III. — De ces potentiels, les composantes $\mathrm {E} _{x},\mathrm {E} _{y},\mathrm {E} _{z},\mathrm {M} _{x},\mathrm {M} _{y},\mathrm {M} _{z},$ des deux champs électrique $\mathrm {E}$ et magnétique $\mathrm {M}$ au point $\mathrm {P,}$ se déduisent par les formules connues :

$\mathrm {E} _{x}=-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial t}},\qquad \mathrm {M} _{x}={\frac {\partial \mathrm {G} }{\partial z}}-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial y}}.$

Pour prendre les dérivées, il importe de bien remarquer comment $\Psi ,\mathrm {F,G,H} ,$ dépendent de $x,y,z$ et de $t$ ; on a :

${\begin{aligned}r=\mathrm {V} \theta =&{\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}\\r(1-\beta \cos \lambda )=&r-{\frac {1}{\mathrm {V} }}\left[(x-\xi )\xi '+(y-\eta )\eta '+(z-\zeta )\zeta '\right]\end{aligned}}$

Les potentiels dépendent donc de $x,y,z,$ soit directement au dénominateur, soit par l’intermédiaire de $r$ ou de $\theta$, puisque les $\xi ,\eta ,\zeta ,\xi ',\eta ',\zeta ',$ sont des fonctions de $t-\theta ,$ et ils dépendent de $t,$ soit par l’intermédiaire de $\xi ,\eta ,\zeta ,\ldots ,$ qui contiennent $t$ explicitement, soit par l’intermédiaire de $\theta$, qui figure dans $r$ et dans les $\xi ,\eta ,\zeta .$

Les dérivées intermédiaires nécessaires à connaître sont :

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{d\theta }}\ \,=&-{\frac {d\xi }{\operatorname {d} t}}\ =-\xi '\\\\{\frac {d\xi '}{d\theta }}=&-{\frac {d\xi '}{\operatorname {d} t}}=-\xi '\end{aligned}}$

${\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {\partial }{\partial x}}{\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}=$

${\frac {1}{\mathrm {V} r}}\left\{(x-\xi )-\left[(x-\xi ){\frac {d\xi }{d\theta }}+(y-\eta ){\frac {d\eta }{d\theta }}+(z-\zeta ){\frac {d\zeta }{d\theta }}\right]{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\right\}$

${\frac {\partial \theta }{\partial x}}\mathrm {V} \left\{r-{\frac {1}{\mathrm {V} }}\left[(x-\xi )\xi '+(y-\eta )\eta '+(z-\zeta )\zeta '\right]\right\}=x-\xi$

${\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {\partial r}{\partial x}}={\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\frac {x-\xi }{\mathrm {V} r(1-\beta \cos \lambda )}}$

${\frac {\partial \xi }{\partial x}}={\frac {d\xi }{d\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}=-{\frac {(x-\xi )\xi '}{\mathrm {V} r(1-\beta \cos \lambda )}},\quad {\frac {\partial \xi '}{\partial x}}=-{\frac {(x-\xi )\xi '}{\mathrm {V} r(1-\beta \cos \lambda )}},$

puis

${\frac {\partial \xi }{\partial t}}={\frac {d\xi }{dt}}+{\frac {d\xi }{d\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\xi '\left(1-{\frac {\partial \theta }{\partial t}}\right)$

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {\partial r}{\partial t}}={\frac {1}{\mathrm {V} r}}\left[-(x-\xi ){\frac {\partial \xi }{\partial t}}-(y-\eta ){\frac {\partial \eta }{\partial t}}-(z-\zeta ){\frac {\partial \zeta }{\partial t}}\right]$