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L’application du théorème de Poynting montre qu’il y a constamment dans le sillage, à travers une surface fixe par rapport à l’éther, flux d’énergie dans le sens du mouvement, pour permettre au sillage d’accompagner son centre. Dans le cas du mouvement uniforme, rien ne se perd à l’infini de l’énergie accumulée dans le sillage ; cette énergie se propage dans le sens du mouvement en suivant l’électron et conservant par rapport à lui une répartition fixe dans le milieu ; aucune intervention extérieure n’est nécessaire pour maintenir ce sillage, l’électron lancé se meut indéfiniment avec la même vitesse. Une intervention extérieure sera nécessaire pour enlever ou fournir de l’énergie au sillage, pour diminuer ou augmenter la vitesse, pour produire une accélération. L’électron est inerte parce qu’il est chargé ; il entraîne son sillage et est entraîné par lui, tant qu’une cause extérieure ne vient pas modifier celui-ci.

Si la vitesse, antérieurement à l’instant $t-\theta$, est restée constamment $\beta \mathrm {V}$ en grandeur et en direction, le sillage extérieur à la sphère $\mathrm {S}$ est normal et contient une énergie :

$\mathrm {W} _{1}={\frac {3+\beta ^{2}}{3(1-\beta ^{2})}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {e^{2}}{2r^{2}}}\cdot \mathrm {V} d\theta }={\frac {3+\beta ^{2}}{3(1-\beta ^{2})}}\int _{r}^{\infty }{{\frac {e^{2}}{2r^{2}}}dr}$

(8)

$\qquad \mathrm {W} _{1}={\frac {e^{2}}{2r}}\cdot {\frac {3(1-\beta ^{2})}{3+\beta ^{2}}}={\frac {e^{2}}{2r}}\left[1+{\frac {(4\beta ^{2}}{3(1-\beta ^{2})}}\right].$

La première partie de $\mathrm {W} _{1}$ est l’énergie électrostatique ${\frac {e^{2}}{2r}}$ qui serait extérieure à la sphère $\mathrm {S}$ dans le cas d’un électron immobile ; l’autre partie, ${\frac {2e^{2}}{3r}}{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}$, représente l’accroissement de l’énergie de sillage, quand la vitesse passe de zéro à $\beta \mathrm {V}$ : c’est l’énergie cinétique d’origine électromagnétique présente à l’extérieur de la sphère $\mathrm {S}$.

Cette énergie cinétique n’est proportionnelle à $\beta ^{2}$, au carré de la vitesse, qu’en première approximation, si $\beta ^{2}$ est négligeable devant l’unité, si la vitesse $v$ est faible par rapport à celle de la lumière. Elle augmente au contraire indéfiniment quand $v$ s’approche de $\mathrm {V}$, quand $\beta$ tend vers 1 ; la valeur infinie de l’énergie cinétique dans le cas d’un électron se mouvant avec la vitesse de la lumière impliquant d’ailleurs que cette vitesse existe depuis un temps infini^[1].

Dans l’expression de l’énergie cinétique, le rôle de la masse est

1. Paul Hertz. Phys. Zeitschrift ; 1903.