Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/157

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et . Abaissant les perpendiculaires , on aura , donc  ; conséquemment ou AB : (EA + CE) = CA : (CB + |CB + CD|), c’est-à-dire . Arrivé là, le géomètre arabe pose et , et obtient ainsi  ; mais de la similitude des triangles ABC, BDA il suit  ; donc , et , ce qui, substitué dans l’équation qu’on vient d’obtenir, donne (* [1]).

Pour construire le côté de l’heptagone inscrit au cercle (** [2]), les Arabes employaient des considérations tout à fait analogues à celles qui précèdent.

J’en trouve l’exposé dans une réponse anonyme à la question suivante, proposée par Aboû Beqr Mohammed Ben Yakoûb Alchamsi : Déterminer dans un triangle rectangle le rapport d’une cathète à l’autre, l’angle opposé à la première des deux cathètes étant donné.

L’auteur fait observer d’abord qu’on peut résoudre ce problème approximativement, au moyen de la table des cordes.

Ensuite il détermine les valeurs exactes du rapport mentionné, en faisant l’angle connu sucessivement égal aux différents sous-multiples d’un angle droit.

Désignant par B le sommet de l’angle droit, par C le sommet de l’angle connu α, et le troisième sommet par A, le géomètre arabe trouve :

Pour

Pour

Pour

Pour

Pour  :

Pour il démontre que le rapport du carré de , au carré du

  1. *) C’est ce que devient, en effet, l’équation , pour , lorsqu’on pose .
  2. ***) L’équation que je déduis ci-dessous (p. 127, fig. 13 en rem.) des relations données par le géomètre arabe, est la même que celle à laquelle Viète ramène cette construction ; en même temps Viète se sert, pour arriver à cette équation, de considérations très-semblables à celles du géomètre arabe. Voir Francisci Vietæ opera mathematica, in unum volumen congesta, opera et studio Francisci à Schooten. Lugduni Batavorum, 1646, fol., pag. 367, protasis iv. Dans l’équation qui se trouve à la fin de cette proposition (pag. 363, fig. 14 en rem.), on lit, par suite d’une faute d’impression, au lieu de .