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Les trois espèces suivantes sont (*^[1]) :

1^o Un cube et des carrés sont égaux à des racines ;

2^o Un cube et des racines sont égaux à des carrés ;

3^o Des racines et des carrés sont égaux à un cube.

Les algébristes disent que ces trois secondes espèces sont proportionnelles aux trois premières, chacune à sa correspondante, c’est-à-dire que l’équation : « un cube et des racines sont égaux à des carrés » est équivalente à celle-ci : « un carré et un nombre sont égaux à des racines (**^[2]), » et de même relativement aux deux autres. Mais ils ne l’avaient pas démontré, lorsque les objets des problèmes sont des quantités mesurables. Pour le cas où l’objet des problèmes est un nombre, c’est une conséquence immédiate du traité des Éléments (***^[3]). Or, j’en démontrerai aussi le cas géométrique.

Les six espèces qui restent des douze, ce sont (****^[4]) :

1^o Un cube et des racines sont égaux à un nombre ;

2^o Un cube et un nombre sont égaux à des racines ;

3^o Un nombre et des racines sont égaux à un cube ;

5^o Un cube et des carrés sont égaux à un nombre ;

5^o Un cube et un nombre sont égaux à des carrés ;

6^o Un nombre et des carrés sont égaux à un cube.

De ces six espèces rien n’a paru dans les traités d’algèbre, excepté la discussion isolée d’une d’entre elles (*****^[5]). Moi, je les 8discuterai et les démontrerai géométriquement, pas numériquement. La démonstration de ces six espèces n’est possible qu’au moyen des propriétés des sections coniques.

1. *) 10^o $x^{3}+cx^{2}=bx\ ;$ 11^o $x^{3}+bx=cx^{2}\ ;$ 12^o $cx^{2}+bx=x^{3}\ ;$
2. **) $x^{3}+bx=cx^{2},$ divisé par $x,$ donne $x^{2}+b=cx.$
3. ***) Vu la proportionnalité qui a lieu entre ces équations et les trois précédentes. Voir page 6, ult.
4. ****) 13^o $x^{3}+bx=a\ ;$ 14^o $x^{3}+a=bx\ ;$ 15^o $bx+a=x^{3}.$

   16^o $x^{3}+cx^{2}=a\ ;$ 17^o $x^{3}+a=cx^{2}\ ;$ 18^o $cx^{2}+a=x^{3}.$

5. *****) Voir la discussion de l’équation n^o 17.