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laquelle était : « Un cube est égal à un nombre (*^[1]). »

Représentons le nombre par le solide ABCD (fig. 16), dont la base AC soit le carré de l’unité, comme nous l’avons expliqué précédemment (**^[2]), tandis que sa hauteur soit égale au nombre donné. Nous désirons construire un cube égal à ce solide. Prenons, entre les deux lignes AB, BD, deux moyennes proportionnelles : celles-ci seront connues de grandeur, comme nous venons de le démontrer (***^[3]). Que ce soient les lignes E, Z. Faisons HT égale à la ligne E, et décrivons sur HT le cube THKL. Ce cube et son côté seront connus de grandeur, et je dis que ce cube est égal au solide D.

Démonstration. Le carré AC est au carré TK en raison double de AB à HK, et la raison double de AB à HK est égale à la raison de AB à Z, de la première à la troisième des quatre lignes, et conséquemment égale à la raison de la seconde HK à la quatrième BD. Les bases (TK, AC) du cube L et du solide D sont donc réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs (HL = HK et BD). Il suit de là que ces deux solides sont égaux, et c’est ce qu’il s’agissait de démontrer.

Après cela, occupons-nous des six équations trinômes qui restent à être discutées.

Première espèce. « Un cube et des côtés sont égaux à un nombre (****^[4]). » Faisons la ligne AB (fig. 17) égale au côté

1. *) iii, $a=x^{2}$.
   Faisons $AB=BC=1$, $BD=a$ ;
   déterminons deux lignes E, Z en sorte que $AB:E=E:Z=Z:BD$ ;
   il suit ${\overline {\text{AB}}}^{2}$ : ${\overline {\text{K}}}^{2}$ $=AB:Z=E:BD$,
   donc ${\overline {\text{E}}}^{2}$ = ${\overline {\text{AB}}}^{2}.$ $.BD=1.a=a$
   ou, en faisant $HT=E$, $a={\overline {\text{HT}}}^{2}$ ••• $x=HT$.
2. **) Pg. 15.
3. ***) Pg. 28 uit. eqq.
4. ****) xiii, $x^{2}+bx=a$. ${\overline {\text{AB}}}^{2}=b$, ${\overline {\text{AB}}}^{2}.BC=a$
   B sommet, BZ axe, AB paramètre de la parabole HBD.
   BC diamètre du cercle CDB.