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donc en proportion continue, et le carré de la première AB sera au carré de la seconde BT comme la seconde BT à la quatrième TC. Il suit de là que le cube de BT est égal au solide dont la base est le carré de AB, et la hauteur CT. Ajoutons à tous les deux le solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BC, lequel nous avons fait égal au nombre donné. Alors le 23cube de BT, plus le nombre donné, sera égal au solide dont la base est le carré de AB et la hauteur BT, lequel représente le nombre de côtés du cube.

Il est évident que cette espèce comprend différents cas, et que certains, parmi les problèmes qui dépendent de cette espèce, sont impossibles(*^[1]). Elle a été résolue au moyen des propriétés de deux coniques, d’une parabole et d’une hyperbole.

Troisième espèce. « Un cube est égal à des côtés, plus un nombre (**^[2]). » Faisons la ligne AB (fig. 19) égale au côté d’un carré égal au nombre des côtés, et construisons un solide ayant pour hase le carré de AB, et égal au nombre donné. Que la hauteur de ce solide soit BC, et qu’elle soit perpendiculaire à AB. Puis prolongeons AB et BC, et décrivons une parabole dont le sommet soit situé au point B, l’axe sur le prolongement de AB, et dont le paramètre soit AB. Que cette pa-

↑ *) L’équation $x^{2}-bx+a=0$ a toujours une racine réelle et négative, dont l’algébriste arabe ne tient pas compte ; les deux autres racines sont, ou imaginaires (et en ce cas le problème est « impossible »), ou positives et égales ( $\textstyle x={\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}$ ), ou positives et inégales — ce qui constitue la variété de cas mentionnée par l’auteur.
↑ **) : xv, $bx+a=x^{2}$ . ${\overline {\text{AB}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{AB}}}^{2}.BC=a$ .
B sommet, BT axe, AB paramètre de la parabole DBE.
E sommet, BE axe, BC paramètre de l’hyperbole équilatère ZBE.
Hyperb. : ${\overline {\text{EH}}}^{2}=CH.BH$ , $EH=BT$ ... $BH:BT=BT/CH$
Parab. : ${\overline {\text{ET}}}^{2}=AB.BT$ , $ET=BH$ ...
$AB:BH=BH:BT$
____________________________________
${\overline {\text{AB}}}^{2}:{\overline {\text{BH}}}^{2}=BH.CH$
${\overline {\text{BH}}}^{2}={\overline {\text{AB}}}^{2}.CH={\overline {\text{AB}}}^{2}.BH+{\overline {\text{AB}}}^{2}.BC$ ou ${\overline {\text{BH}}}^{2}=b.BH+a$ , $x=BH$ .

[1] *) L’équation $x^{2}-bx+a=0$ a toujours une racine réelle et négative, dont l’algébriste arabe ne tient pas compte ; les deux autres racines sont, ou imaginaires (et en ce cas le problème est « impossible »), ou positives et égales ( $\textstyle x={\sqrt[{}]{\tfrac {b}{2}}}$ ), ou positives et inégales — ce qui constitue la variété de cas mentionnée par l’auteur.

[2] **) : xv, $bx+a=x^{2}$ . ${\overline {\text{AB}}}^{2}=b$ , ${\overline {\text{AB}}}^{2}.BC=a$ .
B sommet, BT axe, AB paramètre de la parabole DBE.
E sommet, BE axe, BC paramètre de l’hyperbole équilatère ZBE.
Hyperb. : ${\overline {\text{EH}}}^{2}=CH.BH$ , $EH=BT$ ... $BH:BT=BT/CH$
Parab. : ${\overline {\text{ET}}}^{2}=AB.BT$ , $ET=BH$ ...
$AB:BH=BH:BT$
____________________________________
${\overline {\text{AB}}}^{2}:{\overline {\text{BH}}}^{2}=BH.CH$
${\overline {\text{BH}}}^{2}={\overline {\text{AB}}}^{2}.CH={\overline {\text{AB}}}^{2}.BH+{\overline {\text{AB}}}^{2}.BC$ ou ${\overline {\text{BH}}}^{2}=b.BH+a$ , $x=BH$ .

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