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CL à LD, ainsi que nous l’avons démontré plusieurs fois (*^[1]). Conséquemment le carré de AB sera au carré de BL comme CL à LD ; d’où il suit que le solide dont la hauteur est LD, et la base le carré de AB, est égal au solide dont la base est le carré de BL et la hauteur LC. Mais ce second solide est égal au cube de BL, plus le solide dont la base est le carré de BL et la hauteur BC, lequel est égal au nombre donné de carrés. Ajoutons de part et d’autre le solide dont la hase est le carré de AB et la hauteur BD, lequel nous avons fait égal au nombre 31donné. Le cube de BL, plus le nombre donné de carrés du même et plus le nombre donné, sera égal au solide dont la hase est le carré de AB et la hauteur BL, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BL. Mais c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir.

Il est évident que cette espèce admet différents cas : quelquefois on trouvera dans les problèmes qui en dépendent deux côtés correspondant à deux cubes, et quelquefois cette espèce, c’est-à-dire les problèmes qui en dépendent, n’auront pas de solution (**^[2]). Elle a été résolue par les propriétés de deux hyperboles. C’est ce que nous nous proposions de démontrer.

Troisième espèce des quatre équations quadrinômes. « Un cube, des côtés et des nombres sont égaux à des carrés (***^[3]). »

Représentons le nombre donné des carrés par la ligne BE

↑ *) voi, pages 35 et 37.
↑ **) L’équation x2 + cx2 — bx + a = 0 admet toujours une racine réelle et négative, négligée par l’auteur. Ses deux autres racines sont ou imaginaires (alors le problème est « impossible »), ou positives et égales (x = — ${\tfrac {1}{3}}c$ + ${\tfrac {1}{3}}$ $\textstyle {\sqrt[{}]{3b+c2}}$ … contact des deux hyperboles), ou positives et inégales (intersection des hyperboles en deux points, outre D), — ce qui constitue la variété de cas mentionnée par l’auteur.
↑ ***) XXI, x2 + bx + a = cx2. BE = c, ${\overline {\text{BC}}}$ ² = b, ${\overline {\text{BC}}}$ ² = b, ${\overline {\text{BC}}}$ ² . AB = a.
Rectangle BC = rectangle CA. — AE diamètre du cercle AZLNE.
CZ, CM asymptotes de l’hyperbole équilatère LBN qui passe par le point H.

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[1] *) voi, pages 35 et 37.

[2] **) L’équation x2 + cx2 — bx + a = 0 admet toujours une racine réelle et négative, négligée par l’auteur. Ses deux autres racines sont ou imaginaires (alors le problème est « impossible »), ou positives et égales (x = — ${\tfrac {1}{3}}c$ + ${\tfrac {1}{3}}$ $\textstyle {\sqrt[{}]{3b+c2}}$ … contact des deux hyperboles), ou positives et inégales (intersection des hyperboles en deux points, outre D), — ce qui constitue la variété de cas mentionnée par l’auteur.

[p80-3] ***) XXI, x2 + bx + a = cx2. BE = c, ${\overline {\text{BC}}}$ ² = b, ${\overline {\text{BC}}}$ ² = b, ${\overline {\text{BC}}}$ ² . AB = a.
Rectangle BC = rectangle CA. — AE diamètre du cercle AZLNE.
CZ, CM asymptotes de l’hyperbole équilatère LBN qui passe par le point H.

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