Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/82

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

- 51 -

de ces deux rectangles seront réciproquement proportionnels. Mais le carré de LK est au carré de KA comme EK à KA, à cause du cercle. Il suit donc nécessairement que le carré de BC est au carré de BK comme EK à KA ; en sorte que le solide dont la base est le carré de BC et la hauteur KA est égal au solide dont la base est le carré de BK et la hauteur KE. Mais le premier de ces deux solides est égal au nombre donné de côtés du cube de BK, plus le nombre donné. Ajoutons de part et d’autre le cube de BK. Alors le solide dont la base est le carré de BK et la hauteur BE, lequel est égal au nombre donné de carrés du cube de BK, sera égal au cube de BK, plus le nombre donné de ses côtés et plus le nombre donné. Et de même le cube de BF satisfera à la même équation, en vertu de la même démonstration, lorsque les deux points C, H tombent dans l’intérieur du cercle (*^[1]).

Lorsque H tombe en dehors du cercle, et que nous décrivons la conique, souvent elle rencontre le cercle par contact ou par intersection (c’est ce cas de cette espèce qui a été mentionné par Aboûl-Djoûd dans la solution du problème dont nous parlerons tout à l’heure) ; et dès lors la discussion revient à ce que nous venons d’exposer. Mais si la conique ne rencontre pas le cercle, décrivons toujours le rectangle sur une ligne plus petite, ou, dans l’autre cas, plus grande que ZC (**^[2]).

↑ *) Voici quels sont les cas distingués par l’auteur :
i C est situé dans l’intérieur du cercle ••••••••… $b^{2}<ac$ .
1) H est situé dans l’intérieur du cercle ••••••••… $a^{\tfrac {3}{4}}+b^{2}.{\sqrt {c}}<{\sqrt {a}}.bc$ .
2) H est situé sur la circonférence du cercle ••••••••… $a^{\tfrac {3}{4}}+b^{2}.{\sqrt {c}}={\sqrt {a}}.bc$ .
3) H est situé en dehors du cercle ••••••••… $a^{\tfrac {3}{4}}+b^{2}.{\sqrt {c}}>{\sqrt {a}}.bc$ .
ii) C est situé sur la circonférence du cercle ••••••••… $b^{2}=ac$ .
iii) C est situé en dehors du cercle ••••••••… $b^{2}>ac$ .
↑ **) C’est parfaitement inutile. — « Dans l’autre cas », c’est-à-dire pour raccourcir le rectangle CH dans l’un ou l’autre sens. — Il semble qu’ici l’auteur, de même qu’auparavant, dans la construction de HC sur une base terminée exactement par la circonférence du cercle, puis

4.

[1] *) Voici quels sont les cas distingués par l’auteur :
i C est situé dans l’intérieur du cercle ••••••••… $b^{2}<ac$ .
1) H est situé dans l’intérieur du cercle ••••••••… $a^{\tfrac {3}{4}}+b^{2}.{\sqrt {c}}<{\sqrt {a}}.bc$ .
2) H est situé sur la circonférence du cercle ••••••••… $a^{\tfrac {3}{4}}+b^{2}.{\sqrt {c}}={\sqrt {a}}.bc$ .
3) H est situé en dehors du cercle ••••••••… $a^{\tfrac {3}{4}}+b^{2}.{\sqrt {c}}>{\sqrt {a}}.bc$ .
ii) C est situé sur la circonférence du cercle ••••••••… $b^{2}=ac$ .
iii) C est situé en dehors du cercle ••••••••… $b^{2}>ac$ .

[p82-2] **) C’est parfaitement inutile. — « Dans l’autre cas », c’est-à-dire pour raccourcir le rectangle CH dans l’un ou l’autre sens. — Il semble qu’ici l’auteur, de même qu’auparavant, dans la construction de HC sur une base terminée exactement par la circonférence du cercle, puis

[1]

[2]