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ou par intersection, le problème est possible ; sinon il est impossible. La dénomination de l’impossibilité sera celle que j’ai présentée ci-dessus.

Un géomètre qui avait besoin de cette espèce la résolut effectivement, si ce n’est qu’il ne démontra pas la variété de ses cas, et qu’il ne lui vint pas à l’esprit que quelquefois la solution est impossible, ainsi que nous l’avons démontré. Donc, remarquez cela, et remarquez surtout la seconde règle relative à la construction de cette équation, et à la distinction des cas possibles d’avec les cas impossibles. Cette espèce a été résolue au moyen des propriétés du cercle combinées avec celles de l’hyperbole ; et c’est ce que nous nous proposions d’expliquer.

Voici le problème qui obligea un des géomètres modernes à chercher la solution de cette espèce (*^[1]) : Diviser dix en deux parties, de sorte que la somme des carrés des deux parties, plus le quotient de la partie majeure par la partie mineure, soit égale à soixante-douze. Or il posa une des deux parties égale à « chose », et l’autre égale à dix moins chose, ainsi que c’est la coutume des algébristes dans les exemples qui présentent de semblables parties. Alors l’emploi des opérations algébriques conduit à un cube plus cinq en nombre et plus treize et demi de ses côtés égal à dix carrés. Dans cet exemple, les deux points C, H tombent exactement dans l’intérieur du cercle ; et ce géomètre excellent résolut le problème, qui avait résisté aux efforts de tous les mathématiciens distingués de l’Irâk, du nombre desquels était Aboû Sahl Alqoûhî (**^[2]),

↑ *) $(10-x)^{2}+x^{2}+{\tfrac {10-x}{x}}=72,\ {\text{ou}}\ x^{3}+13{\tfrac {1}{2}}x+x+5=10x^{2}\ ;$ les racines sont $x=2,\ x=4\pm {\tfrac {1}{2}}\textstyle {\sqrt {74}}$ . Les deux points C, H tombent tous les deux en dehors du cercle ; l’assertion contraire du texte doit donc être attribuée à une faute de copie commune par hasard aux deux manuscrits, ou à une erreur momentanée de l’auteur.
↑ **) Ce surnom « Alqoûbi » est expliqué dans le Qitâb Alfihrist, par les mots . Pour des détails concernant la vie de ce géomètre, je me borne à renvoyer à Casiri, tom. I, p. 441-444, et Aboûl Faradj, éd. de Pococke, p. 329. Mais je com-

[1] *) $(10-x)^{2}+x^{2}+{\tfrac {10-x}{x}}=72,\ {\text{ou}}\ x^{3}+13{\tfrac {1}{2}}x+x+5=10x^{2}\ ;$ les racines sont $x=2,\ x=4\pm {\tfrac {1}{2}}\textstyle {\sqrt {74}}$ . Les deux points C, H tombent tous les deux en dehors du cercle ; l’assertion contraire du texte doit donc être attribuée à une faute de copie commune par hasard aux deux manuscrits, ou à une erreur momentanée de l’auteur.

[p85-2] **) Ce surnom « Alqoûbi » est expliqué dans le Qitâb Alfihrist, par les mots . Pour des détails concernant la vie de ce géomètre, je me borne à renvoyer à Casiri, tom. I, p. 441-444, et Aboûl Faradj, éd. de Pococke, p. 329. Mais je com-

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