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tesses des corps qui parcourent les espaces $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,$ et qu’ainsi il est encore important de déterminer leurs valeurs.

Présentement il faut multiplier toutes ces équations, moins une à volonté, par des coefficients indéterminés, et les ajouter ensuite dans une même somme. Soient $\mathrm {M_{1},M_{2},M_{3}} ,\ldots$ les coefficients qui doivent multiplier les dernières équations, et $\mathrm {N_{1},N_{2},N_{3}} ,\ldots$ ceux qui multiplient les autres : on aura

$\mathrm {M} _{1}du_{1}+\mathrm {N} _{1}dy_{1}+\mathrm {M} _{2}du_{2}+\mathrm {N} _{2}dy_{2}+\mathrm {M} _{3}du_{3}+\mathrm {N} _{3}dy_{3}+\ldots$

$+\mathrm {M} _{m-1}du_{m-1}+\mathrm {N} _{m-1}dy_{m-1}$

${\begin{aligned}&=[\mathrm {N} _{1}u_{1}+e(\mathrm {M_{2}-2M_{1}} )y_{1}]dt+[\mathrm {N} _{2}u_{2}+e(\mathrm {M_{3}-2M_{2}+M_{1}} )y_{2}]dt\\&=[\mathrm {N} _{3}u_{3}+e(\mathrm {M_{4}-2M_{3}+M_{2}} )y_{3}]dt+\ldots \\&+[\mathrm {N} _{m-1}u_{m-1}+e(-2\mathrm {M} _{m-1}+\mathrm {M} _{m-2})y_{m-1}]dt,\end{aligned}}$

où l’on supposera pour plus de facilité le premier coefficient $\mathrm {M} _{1}=1.$

Soit fait en sorte que le premier membre de cette équation devienne un multiple exact de la différentielle du second ; et supposant $\mathrm {R}$ un coefficient constant quelconque, on trouvera par la comparaison des termes

$\mathrm {RM_{1}=N_{1},\quad RM_{2}=N_{2},\quad RM_{3}=N_{3}} ,\ldots \quad \mathrm {RM} _{m-1}=\mathrm {N} _{m-1},$

ensuite

$\mathrm {RN_{1}} =e(\mathrm {M_{2}-2M_{1}} ),\qquad \mathrm {RN_{2}} =e(\mathrm {M_{3}-2M_{2}+M_{1}} ),$

$\mathrm {RN_{3}} =e(\mathrm {M_{4}-2M_{3}+M_{2}} ),\ldots ,\qquad \mathrm {RN} _{m-1}=e(-2\mathrm {M} _{m-1}+\mathrm {M} _{m-3})\,;$

en substituant dans ces dernières équations les valeurs des $\mathrm {N}$ tirées des premières, il en résultera

${\begin{aligned}&\mathrm {R^{2}M_{1}} =e(\mathrm {M_{2}-2M_{1}} ),\\&\mathrm {R^{2}M_{2}} =e(\mathrm {M_{3}-2M_{2}+M_{1}} ),\\&\mathrm {R^{2}M_{3}} =e(\mathrm {M_{4}-2M_{3}+M_{2}} ),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {R^{2}M} _{m-1}=e(-2\mathrm {M} _{m-1}+\mathrm {M} _{m-2}).\end{aligned}}$

Soit posé ${\frac {\mathrm {R} ^{2}}{e}}+2=\mathrm {K} ,$ et en ordonnant les termes on parviendra aux