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naturellement de l’équation, je pose pour plus de commodité

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{\nu }=&\mathrm {Y} _{1}\sin {\frac {\nu \varpi }{2m}}+\mathrm {Y} _{2}\sin {\frac {2\nu \varpi }{2m}}+\mathrm {Y} _{3}\sin {\frac {3\nu \varpi }{2m}}+\ldots +\mathrm {Y} _{m-1}\sin {\frac {(m-1)\nu \varpi }{2m}},\\\mathrm {Q} _{\nu }=&\mathrm {V} _{1}\sin {\frac {\nu \varpi }{2m}}+\mathrm {V} _{2}\sin {\frac {2\nu \varpi }{2m}}+\mathrm {V} _{3}\sin {\frac {3\nu \varpi }{2m}}+\ldots +\mathrm {V} _{m-1}\sin {\frac {(m-1)\nu \varpi }{2m}},\end{aligned}}$

où les indices de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ dénoteront simplement les valeurs particulières de $\nu$ qui leur appartiennent.

Ainsi l’équation générale ci-dessus deviendra

${\begin{aligned}y_{1}&\sin {\frac {\nu \varpi }{2m}}+y_{2}\sin {\frac {2\nu \varpi }{2m}}+y_{3}\sin {\frac {3\nu \varpi }{2m}}+\ldots +y_{m-1}\sin {\frac {(m-1)\nu \varpi }{2m}},\\&=\mathrm {P} _{\nu }\cos \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\frac {\nu \varpi }{4m}}\right)+{\frac {\mathrm {Q} _{\nu }\sin \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}\right)}{2{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}}}.\end{aligned}}$

Soit encore, pour abréger

$\mathrm {P} _{\nu }\cos \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\frac {\nu \varpi }{4m}}\right)+{\frac {\mathrm {Q} _{\nu }\sin \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}\right)}{2{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}}}=S_{\nu },$

et posant successivement à la place de $\nu$ tous les nombres naturels depuis zéro jusqu’à $m-1,$ on aura les équations suivantes

${\begin{aligned}y_{1}\sin {\frac {\varpi }{2m}}+y_{2}\sin {\frac {2\varpi }{2m}}+y_{3}\sin {\frac {3\varpi }{2m}}+\ldots +\ \ y_{m-1}\sin {\frac {(m-1)\varpi }{2m}}=&\mathrm {S} _{1},\\y_{1}\sin {\frac {2\varpi }{2m}}+y_{2}\sin {\frac {4\varpi }{2m}}+y_{3}\sin {\frac {6\varpi }{2m}}+\ldots +y_{m-1}\sin {\frac {2(m-1)\varpi }{2m}}=&\mathrm {S} _{2},\\y_{1}\sin {\frac {3\varpi }{2m}}+y_{2}\sin {\frac {6\varpi }{2m}}+y_{3}\sin {\frac {9\varpi }{2m}}+\ldots +y_{m-1}\sin {\frac {3(m-1)\varpi }{2m}}=&\mathrm {S} _{3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\\end{aligned}}$

$y_{1}\sin {\frac {(m-1)\varpi }{2m}}\ \ +y_{2}\sin {\frac {2(m-1)\varpi }{2m}}+\ \ \ldots +\ \ y_{m-1}\sin {\frac {(m-1)^{2}\varpi }{2m}}=\mathrm {S} _{m-1},$

dont le nombre sera $m-1.$

Il faudrait à présent, selon les règles ordinaires, substituer les valeurs des inconnues $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots$ d’une équation dans les autres successive-