naturellement de l’équation, je pose pour plus de commodité
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} _{\nu }=&\mathrm {Y} _{1}\sin {\frac {\nu \varpi }{2m}}+\mathrm {Y} _{2}\sin {\frac {2\nu \varpi }{2m}}+\mathrm {Y} _{3}\sin {\frac {3\nu \varpi }{2m}}+\ldots +\mathrm {Y} _{m-1}\sin {\frac {(m-1)\nu \varpi }{2m}},\\\mathrm {Q} _{\nu }=&\mathrm {V} _{1}\sin {\frac {\nu \varpi }{2m}}+\mathrm {V} _{2}\sin {\frac {2\nu \varpi }{2m}}+\mathrm {V} _{3}\sin {\frac {3\nu \varpi }{2m}}+\ldots +\mathrm {V} _{m-1}\sin {\frac {(m-1)\nu \varpi }{2m}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d438c10149a4119cb9c01f73aa1a254a451242)
où les indices de
et
dénoteront simplement les valeurs particulières de
qui leur appartiennent.
Ainsi l’équation générale ci-dessus deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&\sin {\frac {\nu \varpi }{2m}}+y_{2}\sin {\frac {2\nu \varpi }{2m}}+y_{3}\sin {\frac {3\nu \varpi }{2m}}+\ldots +y_{m-1}\sin {\frac {(m-1)\nu \varpi }{2m}},\\&=\mathrm {P} _{\nu }\cos \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\frac {\nu \varpi }{4m}}\right)+{\frac {\mathrm {Q} _{\nu }\sin \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}\right)}{2{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c882b2b8224dfcbd6508e1b14efa8a464c01f7)
Soit encore, pour abréger
![{\displaystyle \mathrm {P} _{\nu }\cos \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\frac {\nu \varpi }{4m}}\right)+{\frac {\mathrm {Q} _{\nu }\sin \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}\right)}{2{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}}}=S_{\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061efc909837edfc326f872edcc1f2205b5083c6)
et posant successivement à la place de
tous les nombres naturels depuis zéro jusqu’à
on aura les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}\sin {\frac {\varpi }{2m}}+y_{2}\sin {\frac {2\varpi }{2m}}+y_{3}\sin {\frac {3\varpi }{2m}}+\ldots +\ \ y_{m-1}\sin {\frac {(m-1)\varpi }{2m}}=&\mathrm {S} _{1},\\y_{1}\sin {\frac {2\varpi }{2m}}+y_{2}\sin {\frac {4\varpi }{2m}}+y_{3}\sin {\frac {6\varpi }{2m}}+\ldots +y_{m-1}\sin {\frac {2(m-1)\varpi }{2m}}=&\mathrm {S} _{2},\\y_{1}\sin {\frac {3\varpi }{2m}}+y_{2}\sin {\frac {6\varpi }{2m}}+y_{3}\sin {\frac {9\varpi }{2m}}+\ldots +y_{m-1}\sin {\frac {3(m-1)\varpi }{2m}}=&\mathrm {S} _{3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c62a535cf4d95c2b951c4f3d6527f5c4053686)
![{\displaystyle y_{1}\sin {\frac {(m-1)\varpi }{2m}}\ \ +y_{2}\sin {\frac {2(m-1)\varpi }{2m}}+\ \ \ldots +\ \ y_{m-1}\sin {\frac {(m-1)^{2}\varpi }{2m}}=\mathrm {S} _{m-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a179209d49655494f48148d7b91ee6fcae59d762)
dont le nombre sera ![{\displaystyle m-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30a93a1e18f5b53894ffa4f5ae5a6d980ea3b9e)
Il faudrait à présent, selon les règles ordinaires, substituer les valeurs des inconnues
d’une équation dans les autres successive-