on aura d’abord
![{\displaystyle \mathrm {F=Q+RP} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2baa0d165e2251e24c4530a816ba722a04e1ce)
ensuite, posant
dans la dernière équation,
![{\displaystyle \mathrm {P={\frac {F}{2R}}+G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ad4a10f88ef16f4a4faed39f3e3c57b288e941)
on en tire
![{\displaystyle \mathrm {G={\frac {2RP-F}{2R}}={\frac {2RP-Q-RP}{2R}}={\frac {RP-Q}{2R}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65878fab84fb3ab0795de55e9919ed0747abacd)
donc, en divisant l’équation par
on trouvera finalement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} _{1}y_{1}&+\mathrm {M} _{2}y_{2}+\mathrm {M} _{3}y_{3}+\ldots +\mathrm {M} _{m-1}y_{m-1}\\&=\mathrm {\frac {RP+Q}{2R}} c^{\mathrm {R} t}+\mathrm {\frac {RP-Q}{2R}} c^{-\mathrm {R} t}=\mathrm {P} {\frac {c^{\mathrm {R} t}+c^{-\mathrm {R} t}}{2}}+\mathrm {\frac {Q}{R}} {\frac {c^{\mathrm {R} t}-c^{-\mathrm {R} t}}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7af9464521b8da226df19525965a8393a5d18fd)
ce qui, à cause de
se réduit à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} _{1}y_{1}&+\mathrm {M} _{2}y_{2}+\mathrm {M} _{3}y_{3}+\ldots +\mathrm {M} _{m-1}y_{m-1}\\&=\mathrm {P} \cos \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\frac {\nu \varpi }{4m}}\right)+{\frac {\mathrm {Q} \sin \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}\right)}{2{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {\nu \varpi }{4m}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7516fee981a1eca76c7639ac9a6ffd5a50b4d0e0)
soit qu’on prenne dans
le signe
ou le signe
comme nous l’enseignent les expressions exponentielles imaginaires des sinus et cosinus, si familières aujourd’hui aux Géomètres.
23. Cette équation, toute simple qu’elle est, suffit néanmoins pour déterminer les valeurs des inconnues
qui sont au nombre de
Pour s’en convaincre, on n’a qu’à réfléchir qu’elle contient le nombre indéterminé
qui peut avoir les valeurs
jusqu’à
d’où il résultera autant d’équations. Tout se réduit donc à déterminer, par le moyen de toutes ces équations, les valeurs de chaque inconnue qu’elles contiennent : c’est ce que nous allons entreprendre.
Je commence par mettre au lieu des quantités
leurs valeurs trouvées (21), et effaçant le dénominateur commun
qui s’évanouit