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${\begin{aligned}&-{\frac {3\varpi \mathrm {H} dx}{a\mathrm {T} }}\mathrm {P} _{3}\sin {\frac {3\varpi x}{2a}}\sin {\frac {3\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {2dx}{a}}\mathrm {Q} _{1}\sin {\frac {\varpi x}{2a}}\ \ \cos {\frac {\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\\&+{\frac {2dx}{a}}\mathrm {Q} _{2}\sin {\frac {2\varpi x}{2a}}\cos {\frac {2\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\\&+{\frac {2dx}{a}}\mathrm {Q} _{3}\sin {\frac {3\varpi x}{2a}}\cos {\frac {3\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

37. Présentement il faut substituer dans ces formules les expressions des quantités $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots ,$ d’où, en ordonnant les termes par les quantités connues $\mathrm {Y_{1},Y_{2},Y_{3},\ldots ,V_{1},V_{2},V_{3}} ,\ldots ,$ on trouvera autant de suites infinies, dont chacune sera multipliée par une de ces quantités.

Soit ${\frac {\mathrm {X} }{a}}$ la raison générale des indices des $\mathrm {Y}$ et des $\mathrm {V}$ au nombre $m.$ $\mathrm {X}$ dénotera la partie de l’axe qui leur est correspondante dans le premier état du système ; donc, si l’on emploie le signe intégral $\int$ pour exprimer la somme de toutes ces suites, on aura

${\begin{aligned}y={\frac {2}{a}}\int dx\mathrm {Y} \left(\sin {\frac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {\varpi x}{2a}}\cos {\frac {\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\right.&+\sin {\frac {2\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {2\varpi x}{2a}}\cos {\frac {2\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\\&+\left.\sin {\frac {3\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {3\varpi x}{2a}}\cos {\frac {3\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}+\ldots \right)\\+{\frac {4\mathrm {T} }{\varpi \mathrm {H} a}}\int dx\mathrm {V} \left(\sin {\frac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {\varpi x}{2a}}\sin {\frac {\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\right.&+{\frac {1}{2}}\sin {\frac {2\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {2\varpi x}{2a}}\sin {\frac {2\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\\&+{\frac {1}{3}}\left.\sin {\frac {3\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {3\varpi x}{2a}}\sin {\frac {3\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}+\ldots \right),\end{aligned}}$

et de même pour $u$

${\begin{aligned}u=-{\frac {\varpi \mathrm {H} }{a\mathrm {T} }}\int dx\mathrm {Y} \left(\sin {\frac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {\varpi x}{2a}}\sin {\frac {\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\right.&+2\sin {\frac {2\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {2\varpi x}{2a}}\sin {\frac {2\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\\&+\left.3\sin {\frac {3\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {3\varpi x}{2a}}\sin {\frac {3\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}+\ldots \right)\\+{\frac {2}{a}}\int dx\mathrm {V} \left(\sin {\frac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {\varpi x}{2a}}\cos {\frac {\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\right.&+\sin {\frac {2\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {2\varpi x}{2a}}\cos {\frac {2\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}\\&+\left.\sin {\frac {3\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {3\varpi x}{2a}}\cos {\frac {3\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}+\ldots \right),\end{aligned}}$