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où il est à remarquer que les intégrations doivent se faire en supposant $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {V}$ variables, et $t$ et $x$ constantes.

38. Si on réfléchit maintenant sur ces formules, on s’apercevra que la première partie de l’expression de $y$ et la seconde partie de l’expression de $u,$ qui ne diffèrent entre elles que par rapport aux quantités $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {V} ,$ seront sommables au moyen de la formule trouvée (25). Qu’on suppose donc, pour simplifier le calcul, que les quantités $\mathrm {V}$ s’évanouissent dans la formule de $y,$ et les quantités $\mathrm {Y}$ dans celle de $u,$ ce qui réduit le problème aux seuls cas considérés jusqu’à présent dans les cordes vibrantes ; et on pourra se contenter de faire le calcul pour la valeur de $y,$ puisque, en changeant simplement les $\mathrm {Y}$ en $\mathrm {V} ,$ on obtiendra tout de suite celle de $u.$ Je ramène d’abord l’expression $\sin {\frac {\varpi x}{2a}}\cos {\frac {\varpi \mathrm {H} t}{2\mathrm {T} }}$ à celle-ci

${\frac {\sin {\cfrac {\varpi }{2}}\left({\cfrac {x}{a}}+{\cfrac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)+\sin {\cfrac {\varpi }{2}}\left({\cfrac {x}{a}}-{\cfrac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)}{2}},$

et en opérant de la même manière sur toutes les autres je change la formule en

${\begin{aligned}y={\frac {1}{a}}\int dx\mathrm {Y} \left[\sin {\frac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)\right.&+\sin {\frac {2\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {2\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)\\&+\left.\sin {\frac {3\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {3\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)+\ldots \right]\\+{\frac {1}{a}}\int dx\mathrm {Y} \left[\sin {\frac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)\right.&+\sin {\frac {2\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {2\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)\\&+\left.\sin {\frac {3\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {3\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)+\ldots \right].\end{aligned}}$

Or, si l’on met dans la formule du n^o 25, au lieu des quantités $\mathrm {D} ,$ leurs valeurs $\pm {\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}}}{\frac {\sin {\cfrac {s\mu \varpi }{2m}}}{\sin {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}}},$ et qu’on multiplie tout par $2^{m-2}\sin {\frac {\mu \varpi }{2m}},$ on