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mais lorsque $x=0,$ le dénominateur devient aussi égal à zéro : c’est pourquoi elle reçoit une valeur donnée qu’on trouvera par la différentiation du numérateur et du dénominateur. On a donc en différentiant

${\frac {(m+1)\sin(m+1)x-m\sin mx}{2\sin x}},$

qui se réduit de nouveau à ${\frac {0}{0}}$ par la supposition de $x=0\,;$ qu’on différentie une seconde fois, il viendra

${\frac {(m+1)^{2}\cos(m+1)x-m^{2}\cos mx}{2\cos x}}$

et faisant $x=0,$

${\frac {(m+1)^{2}-m^{2}}{2}}=m+{\frac {1}{2}}\,;$

donc la valeur de la série est dans ce cas

$m+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}=m,$

précisément comme on l’a vu plus haut.

Au reste, par la méthode de sommer les suites des cosinus ou sinus, que nous venons d’expliquer, on trouvera que la suite finie

$\sin \varphi \sin \theta +\sin 2\varphi \sin 2\theta +\sin 3\varphi \sin 3\theta +\ldots +\sin(m-1)\varphi \sin(m-1)\theta$

est égale à

${\frac {\sin m\varphi \sin(m-1)\theta -\sin(m-1)\varphi \sin m\theta }{2(\cos \varphi -\cos \theta )}},$

ce qui convient avec ce qu’on a trouvé (38) en faisant $\varphi ={\frac {\lambda \varpi }{2m}}$ et $\theta ={\frac {\mu \varpi }{2m}},$ et supposant $\mu$ un nombre entier quelconque.

45. Nous avons enseigné (39) à construire l’ordonnée $y$ et la vitesse $u,$ l’une dans le cas où les vitesses initiales $\mathrm {V}$ sont égales à zéro, et l’autre dans le cas où les premières ordonnées $\mathrm {Y}$ sont égales à zéro ; cependant, si l’on voulait une construction générale pour tous les cas possibles, on