quelles que soient les valeurs des angles
et
Cependant, lorsque
\theta=\varphi,
il est clair que les deux séries se réduisent à
![{\displaystyle {\frac {1+1+1+1+\ldots }{2}}-{\frac {\cos 2\varphi +\cos 4\varphi +\cos 6\varphi +\ldots }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eca1f220eff9d8b5ef474b4c112224b187f97f)
Si
est le nombre des termes dans chacune de ces suites, la somme de la première est nécessairement
la somme de la seconde est, par ce que nous avons trouvé ci-dessus,
donc la somme de toutes deux se trouvera dans ce cas
![{\displaystyle {\frac {m-1}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {m}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7243885e8b3e301f2347931d19ed94febc33e8a6)
44. Mais, dira-t-on, comment peut-il se faire que la somme de la suite infinie
soit toujours égale à
puisque, dans le cas de
elle devient nécessairement égale à une suite d’autant d’unités ? Je réponds que cela provient des termes qui se détruisent naturellement dans tous les cas, excepté dans celui où
Pour rendre la chose plus sensible, cherchons la somme de la suite
![{\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\ldots +\cos mx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bb08c37afe5481cb8427ebc6173528a3feeeee)
on trouvera, par la même méthode ci-dessus, qu’elle est égale à
![{\displaystyle {\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{(m+1)x{\sqrt {-1}}}}{2\left(1-e^{x{\sqrt {-1}}}\right)}}+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}-e^{-(m+1)x{\sqrt {-1}}}}{2\left(1-e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c34027a47ca690966ed7854d4a6f3164fe96e40)
expression qui se réduit à
![{\displaystyle {\frac {\cos x-1+\cos mx-\cos(m+1)x}{2(1-\cos x)}}={\frac {\cos mx-\cos(m+1)x}{2(1-\cos x)}}-{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34528de825f9df325089677887e867c8855df053)
Or, dans le cas où
est un nombre infini, on suppose que
évanouisse auprès de
d’où le terme
devient égal à
et la formule reste
![{\displaystyle {\frac {\cos mx-\cos(m+1)x}{2(1-\cos x)}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f134faeafff1294ad04478abbd1bf8d9c59c4b6b)