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quelles que soient les valeurs des angles $\varphi$ et $\theta .$ Cependant, lorsque \theta=\varphi, il est clair que les deux séries se réduisent à

${\frac {1+1+1+1+\ldots }{2}}-{\frac {\cos 2\varphi +\cos 4\varphi +\cos 6\varphi +\ldots }{2}}.$

Si $m-1$ est le nombre des termes dans chacune de ces suites, la somme de la première est nécessairement ${\frac {m-1}{2}},$ la somme de la seconde est, par ce que nous avons trouvé ci-dessus, $-{\frac {1}{2}}\,;$ donc la somme de toutes deux se trouvera dans ce cas

${\frac {m-1}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {m}{2}}.$

44. Mais, dira-t-on, comment peut-il se faire que la somme de la suite infinie $\cos x,\ +\cos 2x,\ +\cos 3x,\ldots$ soit toujours égale à $-{\frac {1}{2}},$ puisque, dans le cas de $x=0,$ elle devient nécessairement égale à une suite d’autant d’unités ? Je réponds que cela provient des termes qui se détruisent naturellement dans tous les cas, excepté dans celui où $x=0.$ Pour rendre la chose plus sensible, cherchons la somme de la suite

$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\ldots +\cos mx\,;$

on trouvera, par la même méthode ci-dessus, qu’elle est égale à

${\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{(m+1)x{\sqrt {-1}}}}{2\left(1-e^{x{\sqrt {-1}}}\right)}}+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}-e^{-(m+1)x{\sqrt {-1}}}}{2\left(1-e^{-x{\sqrt {-1}}}\right)}},$

expression qui se réduit à

${\frac {\cos x-1+\cos mx-\cos(m+1)x}{2(1-\cos x)}}={\frac {\cos mx-\cos(m+1)x}{2(1-\cos x)}}-{\frac {1}{2}}.$

Or, dans le cas où $m$ est un nombre infini, on suppose que $1$ évanouisse auprès de $m,$ d’où le terme $\cos(m+1)x$ devient égal à $\cos mx,$ et la formule reste

${\frac {\cos mx-\cos(m+1)x}{2(1-\cos x)}}=0\,;$