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variable $x,$ peut se transformer par les règles connues en

${\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} -\int {\frac {dz}{dx}}{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}dx\,;$

cette dernière intégrale se change de même en

$z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}-\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}dx\,;$

de sorte qu’on aura

$\int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx={\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} -z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}+\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}dx\,;$

or, puisque $\int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx$ est égal à zéro, lorsque $x=0,$ si l’on suppose que $\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}dx$ le soit aussi, il faudra que ${\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} -z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}$ évanouisse de même dans ce point ; mais, par hypothèse, on a ici $z=0\,;$ donc il suffira que l’on ait ${\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} =0$ ou bien $\mathrm {M} =0,$ lorsque $x=0.$

Par là notre équation intégrale deviendra

$\int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx=c\left({\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} -z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\right)+c\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}dx.$

Posons $x=a,$ et puisque $z$ s’évanouit de nouveau par hypothèse, faisons disparaître de même l’autre terme ${\frac {dz}{dx}}\mathrm {M}$ par une valeur convenable de $\mathrm {M} .$

Il ne restera après cela que la simple équation

$\int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx=c\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}dx.$

Soit supposé ${\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}=k\mathrm {M} ,$ $k$ désignant une constante indéterminée dont on trouvera la valeur au moyen des conditions qu’on a déjà attachées à la quantité $\mathrm {M} \,;$ on aura

$\int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx=kc\int z\mathrm {M} dx.$