Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/259

aura donc ici de même

${\begin{aligned}z=&\mathrm {S} \cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)+{\frac {\mathrm {R} }{\sqrt {-ck}}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right),\\r=&\mathrm {R} \cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)-\mathrm {S} {\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right),\end{aligned}}$

et mettant à la place des quantités $s,r,\mathrm {S}$ et $\mathrm {R}$ leurs valeurs en $z,u,\mathrm {Z}$ et $\mathrm {U} ,$

${\begin{aligned}\int z\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx+{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \mathrm {UM} dx.\\\int u\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {UM} dx-{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx.\end{aligned}}$

Il faut maintenant substituer la valeur de $\mathrm {M}$ et faire les autres opérations que demande notre méthode ; mais comme cette valeur de $\mathrm {M}$ est différente de celle du Problème I, il est clair que les mêmes procédés que nous avons suivis alors ne suffiront pas à présent ; on pourra cependant s’en servir de nouveau avec succès, en préparant par une simple transformation les expressions $\int z\mathrm {M} dx,\ \int u\mathrm {M} dx$ avec les deux autres $\int \mathrm {ZM} dx$ et $\int \mathrm {UM} dx$ de la manière que voici. Substituant la valeur de $\mathrm {M} ,$ j’ai d’abord

$\int z\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx-{\sqrt {-k}}\int zx\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\,;$

or il est clair que si l’on n’avait que le premier membre de cette expression, on serait exactement dans le cas du Problème I ; il ne s’agira donc que de ramener aussi le second membre à la même forme ; pour cela je change d’abord la formule

$\int zx\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx$

en

${\frac {zx\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)}{\sqrt {-k}}}-{\frac {1}{\sqrt {-k}}}\int {\frac {dzx}{dx}}\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right),$

ensuite je remarque que, puisqu’on suppose que les intégrales ne s’é-